równość i nierówność teofrast: RÓWNOŚĆ I NIERÓWNOŚĆ. (1^o) : Niech a, b, c, d, e, ∊ R, i jest spełniona równość: a² + b² + c² = d² +e² = f . Wykazać, że : | ad +be + cf | ≤ f √ f + 1 . (2^o) : Niech a ≥ b ≥ c > 0 oraz d ≥ e ≥ f ( a, b, c, d, e, f ∊ R ) i jest spełniona równość: ad +be + cf = 0 Wykazać, że d + e + f ≤ 0

Vax: 2) Załóżmy nie wprost, że d+e+f > 0, oczywiście z tego wynika, że d≥0 oraz f > −d−e, stąd wynika: 0 = ad+be+cf > ad+be+c(−d−e) = ad+be−cd−ce = d(a−c)+e(b−c) ≥ d(b−c)+e(b−c) = (b−c)(d+e) czyli 0 > (b−c)(d+e) ale b−c ≥ 0 czyli musi zachodzić: d+e ≤ 0 (czyli e musi być niedodatnie) −f−e < d ≤ −e /+e −f < d+e ≤ 0 Ale skoro e ≤ 0 to tym bardziej f ≤ 0 czyli −f ≥ 0 co jest sprzeczne z nierównością powyżej, otrzymana sprzeczność dowodzi tezy.

teofrast: Bardzo dziękuję. Pozostaje jeszcze pierwsza nierówność... pozdr. <Teofrast>

teofrast: Udało mi się znależć sposób na rozwiązanie 1^o ( pomysł zaczerpnięty z ksiażki Gałkina « Niestandartnyje zadaczi po matiematikie. Ałgiebra », Czelabińsk 2004 [po rosyjsku] ). Korzystamy z nierównosci Cauchy'ego w wersji wektorowej : û • ŵ ≤ | û • ŵ | ≤ | û | | ŵ | ( " • " oznacza iloczyn skalarny ) Rozpatrujemy wektory ( w ℛ³ ) : û = [ a, b, c] oraz ŵ = [ d, e, f ]. û • ŵ = ad + be + cf ≤ | ad + be + cf | ≤ | û | | ŵ | = ( √a² + b² + c² )( √ d² + e² + f² ) = √f √f+f² = f √f + 1 .

Trivial: Нестандартные задачи по математике!

teofrast: Oczywiście, tyle, że mi sie nie chciało wstawiać literki po literce z Worda /Wstaw/Symbol ( bo przecież nie mam klawiatury z cyrylicą...) Jak komuś się chce, to OK

Jack: wystarczy zmienić klawiaturę na rosyjską.

Jack: (w ustawieniach)

teofrast: I wgrać do mózgu topografię wszystkich klawiszy !? Jest to oczywiście mozliwe, znam jedną Rosjankę , która tak robi. Ja raczej z rzadka piszę po ros., częściej czytam (książki matematyczne zresztą...)

Jack: to chyba nie takie trudne, pewnie pewne znaki są zwykłą transkrypcją. Mój kolega pisze tak po niemiecku i rosyjsku i nie narzeka

teofrast: Ja na swojej klawiaturze mam wgrane ( pod prawym altem ) wszystkie diakrytyki do jezyków francuskiego i niemieckiego. To juz jest 22 dodatkowych, niewidocznych na klawiaturze znaków do zapamietania...

Jack: maźnij sobie jakimś markerem na klawiszu nowy symbol − zatrze się w końcu ale zanim to nastąpi pewnie zapamiętasz.

teofrast: Mam ich listę pod szkłem na biurku...

Jack: