Ciągi Ania: Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym a₄=4,5 a₆=6. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu. Oblicz n, jeśli wiadomo, że S_n = 261

ICSP: a_n = 0,75n + 1,5 n = 29 Ja muszę iść . Zaraz zapewne ktoś pomoże ci to rozwiązać.

Basia: w ciągu arytmetycznym a_n = a₁+(n−1)*r wobec tego a₄ = a₁+3r czyli a₁+3r=4 zapisz tak samo a₆; dostaniesz układ równań do rozwiązania

ICSP: Basia chciała powiedzieć że a₁ + 3r = 4,5

Ania: Wzór ogólny to wiem skąd a₄+2r=6 ⇒r=0,75 a₁=a₄−3r=2,25

Ania: Przepraszam podałam treść z błędem S_2n = 261

Basia: a₄ = a₁+3r a₆ = a₁+5r a₁+3r = 4 a₁+5r = 6 rozwiąż ten układ równań, i nie przepisuj tego co napisał ICPS bo coś poknocił śpiący już chyba jest

Ania: A jak obliczyć n?

	a1+an
Sn=		*n czy tą sumę mam pomnożyć przez 2 ?
	2

a₁ jest wyznaczone, a za a_n podstawić wzór ogólny?

ICSP: ale Basiu a₄ = 4,5 a nie 4

Basia: no to chyba ja już jestem śpiąca; faktycznie 4,5 S_n = 261

	a1+an		1,5+1,5+0,75n
Sn =		*n =		*n
	2		2

stąd

3+0,75n
	*n = 261 /*2
2

(3+0,75n)*n − 521=0 0,75n²+3n−521 = 0 Δ itd.

ICSP: To może my już się położymy? 261 * 2 = 522 Poza tym Ania poprawiła treść zadania Mi wychodzą bzdury dlatego już idę spać Dobranoc wszystkim.

Basia: S_2n = 261

	a1+a2n
S2n =		*2n = (a1+a2n)*n
	2

a_2n = a₁+(2n−1)*r = 1,5+(2n−1)*0,75 [1,5+1,5+(2n−1)*0,75]*n = 261 [3+1,5n−0,75]*n − 261=0 1,5n² + 2,25n −261 =0 /*100 150n² + 225n − 26100 = 0 /:5 30n² + 45n − 5220 = 0 /:5 6n² + 9n − 1044 = 0 Δ= 81+6*4*1044 Δ = 25137 mnie też bo √25137 jest liczbą niewymierną równanie nie ma pierwiastków wymiernych, a tym bardziej naturalnych coś tu jeszcze jest nie tak sprawdź Aniu treść

Gustlik: Basiu, u licha, PO CO UKŁAD RÓWNAŃ? To się robi równaniami z JEDNĄ NIEWIADOMĄ: a_m−a_n=(m−n)*r a₆−a₄=2r 6−4,5=2r 1,5=2r /:2 r=0,75 a₁=a₄−3r a₁=4,5−3*0,75=2,25 Teraz podstawiasz to do wzoru ogólnego ciągu. O WIELE PROŚCIEJ − NIE OMIJAJ AUTOSTRAD POLNYMI, KRĘTYMI DRÓŻKAMI, ! Potem uczniowie błądzą i przez takie coś 21 % uczniów oblało tegoroczną mature z matmy !

Basia: [P[Gustlik] wypisujesz [P[kompletne bzdury] a_m − a_n = (m−n)*r jest rozwiązaniem układu równań a_n = a₁+(n−1)*r a_m = a₁+(m−1)*r −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a_n−a_n = (n−1)*r−(m−1)*r = nr−r−mr+r = (n−m)*r i PO JAKIEGO DIABŁA uczniowi jeszcze jeden wzór do pamiętania jeżeli może W DWÓCH KROKACH prosty układzik rozwiązać.

Basia: do Gustlika 1. (n−m)*r = a_n−a_m a₁ = a_n − (n−1)r (a koniecznie chcesz zmusić wszystkich, żeby tak liczyli) to też układ równań 2. Czyżbyś uważał, że uczeń, który nie potrafi rozwiązać prostego układu równań zasługuje na świadectwo dojrzałości ? moim zdaniem nie zasługuje nawet na świadectwo ukończenia gimnazjum 3. Uczniowie nie zdają matury nie dlatego, że nie znają akurat tych wzorów, które Tobie się podobają, ale dlatego, że wkuwają te wszystkie wzory kompletnie bezmyślnie i mechanicznie, nie starając się nawet minimalnie zrozumieć co, skąd, po co i dlaczego. A Ty ich, przykro mi to pisać, ale to prawda, właśnie do tego zachęcasz komentarzami typu "jest taki śliczny, prosty wzór....." , nie próbując nawet wyjaśnić w jaki sposób ten wzór powstał. Rozumiem, że w nie da się przy okazji każdego zamieszczonego na forum zadania wyprowadzać wzorów np. na współrzędne środka i promień okręgu, ale jeżeli chcesz uczniów zachęcać do ich stosowania, wyprowadź je raz, a porządnie, chociażby w komentarzach do strony o okręgu i zachęć delikwenta, który tergo wzoru nie zna, żeby sam go sobie wyprowadził, albo przynajmniej postarał się zrozumieć Twoje wyprowadzenie. Nie będę teraz sprawdzać, ale akurat te wzory dotyczące okręgu chyba już opisałeś, podawaj więc link do tego wyprowadzenia, gdy się na nie powołujesz. To samo dotyczy innych mniej znanych obecnie wzorów i metod. 4. Nie nauczysz matematyki nikogo, kogo wcześniej nie nauczysz logicznego myślenia. I tu się akurat z Tobą zgadzam, że program został tak potwornie zmasakrowany, że o konsekwentnym, logicznym ujęciu całości można sobie tylko pomarzyć. 5. Nigdzie nie jest napisane, że maturę mają zdać wszyscy. Tak już było, w PRL−u, i doprowadzono do tego, że obecnie świadectwo dojrzałości odpowiada niegdysiejszemu świadectwu ukończenia przyzwoitej, ośmioklasowej szkoły podstawowej, licencjat nawet nie dorównuje niegdysiejszej maturze, dyplom magistra niewiele jest więcej wart niż ta niegdysiejsza matura, a ludzie z tytułami doktorów (a czasem i profesorów) nawet nominalnie humanistycznych (np.prawnicy, ale nie tylko, bo i kilku historyków by się znalazło), nie potrafią posługiwać się poprawną polszczyzną. Wystarczy włączyć telewizor. Najwyższy czas, żeby zdawanie matury przestało być fikcją i czystą formalnością.

krystek: Podpisuję się pod wszystkim co Basia napisała. Rozumienie ,logiczne myślenie to podstawa! Nawet w klasach kiedys zwanych matematyczno −fizycznymi nie wszyscy uczniowie byli tak błyskotliwi jak chce tego Gustlik. A uzdolniony uczeń zawsze może iść na skróty ,bo on to rozumie ,przeciętny niestety nie tak szybko. Pozdrawiam wszystkich uczestników FORUM>

Jack: ja również, co zresztą kilka razy już wytknąłem Gustlikowi... (m.in. dość z bezmyślnym klepaniem wzorów, prymat myślenia nad przepisywaniem wzorów, matura nie jest dla wszystkich)

Ania: A wracając do zadania... Sprawdziłam treść i jest S_2n=261 Basiu robiłam Twoim sposobem i mi wyszły całkiem przyzwoite liczby n₁=−14,5 i n₂=12 Wydaje mi się, że zrobiłaś błąd w obliczeniu, bo a₁=2,25, a Ty podstawiłaś 1,5. (2,25+2,25+(2n−1)*0,75)*n=261 30n²+75n−5220=0 Δ=632025 √Δ=795 n₁=−14,5 n₂=12 Rozumiem, że odpowiedzią jest n₂, bo n₁<0 tak?

Ania: Czy rozwiązaniem jest tylko n₂ czy n₁ również?

Godzio: Nie jestem zbytnio w temacie, ale jeśli są to ciągi to n = −14,5 nie jest rozwiązaniem, po pierwsze niecałkowite, a po drugie ujemne, a n ∊ N₊

Gustlik: Basiu, a czy wiesz, że ten wzór sprowadza się jedynie do zapamiętania zasady, że odejmujesz numery wyrazów i to daje ilość "r"−ów, np. a₁₂−a₈=4r, a₂₀−a₁₃=7r itd. Wystarczy tylko wytłumaczyć zasadę i potem ją stosować. I mamy wtedy równania z JEDNĄ niewiadomą, a nie układ, bo najpierw liczysz r, a potem znając r liczysz a₁, np. a₁=a₆−5r, bo 6−5=1. Dużo szybciej i sprawniej. Tak więc nie zgodzę się z Toną. Jak lubisz, to sobie jedź do Rzymu przez Krym, ale jeżeli tak uczysz, to robisz tylko krzywdę uczniom.

Basia: x+y = 10 x = 3 to też układ równań

Basia: do Ani Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym a₄=4,5 a₆=6. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu. Oblicz n, jeśli wiadomo, że S_2n = 261 a₁+3r = 4,5 a₁+5r = 6 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (2) − (1) 2r = 1,5 r = 0,75 a₁+3*0,75 = 4,5 a₁+2,25 = 4,5 a₁ = 2,25

	a1+a2n
S2n =		*2n = (a1+a2n)*n
	2

a_2n = a₁+(2n−1)*r = 2,25+(2n−1)*0,75 = 2,25+1,5n−0,75 = 1,5+1,5n S_2n = (2,25+1,5+1,5n)*n = (3,75 + 1,5n)*n = 1,5 n² + 3,75n 1,5n² + 3,75n = 261 1,5n² + 3,75n − 261 = 0 Δ = 14,0625 + 1566 = 1580,0625 √Δ = 39,75

	−3,75−39,75
n1 =		< 0 odpada
	3

	3,75+39,75		36
n2 =		=		= 12
	3		3

tak, dobrze policzyłaś n = 12

Gustlik: Basiu, zgadza się, ale taki układ rozwiązujesz jak równanie z JEDNĄ niewiadomą i masz drugą liczbę, 3+y=10, y=7. Takie układy złozone z równań zawierajacych jedną niewiadomą rozwiązuje się na ogól szybciej, a moja metoda na tym właśnie polega − najpierw liczysz r, a potem mając r liczysz a₁ i to są w zasadzie dwa równania ale z JEDNĄ niewiadomą.

Basia: jakie szybciej ? a₁+3r = 4,5 a₁+5r = 6 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (2)−(1) 2r = 6−4,5 = 1,5 no chyba, że jedyna znana metoda rozwiązania układu to metoda podstawienia i to koniecznie z wyznaczeniem tej niewiadomej, przy której współczynnik ≠ 1 wtedy rzeczywiście szybciej

Basia: Poza tym pośpiech jest wskazany tylko przy łapaniu pcheł

Gustlik: Mam jeszcze Basiu takie pytanie odnośnie układów równań rozwiązywanych metodą podstawiania. Nauczyciele w większości uczą tak: Np. x+y=10 x−y=6 y=10−x x−(10−x)=6 y=10−x x−10+x=6 itd.... Ja tobię tak: x+y=10 x−y=6 y=10−x x−(10−x)=6 x−10+x=6 itd... I rozwiązuję drugie równanie z jedną niewiadomą x bez przepisywania w kólko tego równania y=10−x, obliczam x rozwiązując drugie rwnanie, potem wstawiam do pierwszego i mam y. Możesz mi wyjaśnić, po kiego to przepisywanie tego rownania, które nic nie wnosi do zadania, a tylko zajmuje cenny czas np. na sprawdzianach czy egzaminach, bo później uczniowie nauczeni w taki sposób automatycznie tak samo robią na maturze, myśląc, że "tak trzeba"?

krystek: Jeśli mogę włączyć sie do dyskusji,reformy w szkolnictwie nie są mi obce od ponad 40 lat, ktoś mądry wymyślił ,że należy pisać jako układ równoważny., i ciagle metodycy(a wtedy jeszcze byli)nam zwracali uwagę na zapis. Gustlik − zgadzam sie z Tobą (i jeszcze należy kazać uczniowi podkreślali wyznaczone x czy y i wie dokąd mają wrócic ,aby obliczyć druga niewiadomą.) Zwróćcie uwagę na zapis współrzędnych punktówP=(4,5) a winno być (4;5) pojawia sie ułamek dziesietny i co wtedy.Takich przykładów jest więcej. A dalej po co wprowadzono log, kiedyś kiedy nie było kalkulatorów służyły do obliczeń ,a dzisiaj nie wiem jaki jest sens ich wprowadzenia.(może mnie ktoś oświeci) należało raczej wprowadzić pochodne ,rozbudować dział trygonometrii,ponieważ na studiach to jest b potrzebne. Oj można by mnożyć przykłady działań naszych decydentów od oświaty! Pozdrawiam ,jak dobrze,że nie muszę już pracować.

Basia: Gustlik nie mogę, bo nie mam pojęcia i ani rusz nie wydaje mi się, że "tak trzeba"

Trivial: Logarytmy naturalne pojawiają się w fizyce niezmiernie często (np. dla obliczania ciągłych przyrostów). W algorytmice nierzadko mamy do czynienia z logarytmem binarnym. Także zastosowań jest sporo...

Basia: krystek Metodycy zawsze mieli ciekawe pomysły ! (z wiedzą niestety już różnie bywało). Skoro biedny uczeń nie będzie wiedział do czego ma wrócić po wyliczeniu x, to może wystarczyłoby żeby sobie to równanie y=10−x (z przykładu Gustlika) podkreślił na przykład na czerwono albo na zielono zamiast je ciągle przepisywać ?

Gustlik: Basiu, ja właśnie tak pokazuję: wyznaczyć z jednego równania x lub y, w zalezności od tego, co wygodniejsze, i to równanie np. y=10−x napisać na środku i podkreślić, albo zakreślić ramką, żeby potem do niego wrócić. I nie potrzeba zadnego przepisywania. Niemniej często mi się zdarza na korepetycjach, że uczeń "chce" przepisywać, bo tak został nauczony. Wtedy zawracam go z okrężnej drogi, każę robić bez przepisywania i pokazuję, że to przepisywanie nie ma sensu. A tak w ogóle, to jestem zwolennikiem metody przeciwnych współczynników i wyznacznikowej, więc tam, gdzie nie ma wyraźnego polecenia rozwiązywania metodą podstawiania, proponuję właśnie te dwie metody. Pozdrawiam.