Układ równań
TPB: Ostatnio przerabiam zbiór zadań pana Pawłowskiego, ale w ogóle nie idą mi wzory Viete'a czy
ktoś mógłby rozwiązać taki oto przykład:
Rozwiąż układ równań
| | ⎧ | a+b+c=3 | |
| | ⎨ | a2+b2+c2=3 |
|
| | ⎩ | a5+b5+c5=5 | |
Byłbym bardzo wdzięczny za wskazówki, a raczej szkic rozwiązania, bo kompletnie sobie z tymi
zadaniami nie radzę.
11 lip 20:07
Basia: A skąd Ci się wziął ten układ równań ? Napisz może treść zadania od początku, bo nie dość, że
układ jest wredny, to jeszcze żadnego związku z wzorami Viete'a tu nie ma.
11 lip 20:55
Vax: Sprawdź, czy dobrze przepisałeś ten układ.
11 lip 23:22
Vax: Z tego co kojarzę, to ten układ powinien wyglądać tak: (jeżeli nie − trudno, przynajmniej
poznasz metodę i poradzisz sobie później
)
{a+b+c = 1
{a
2+b
2+c
2 = 3
{a
5+b
5+c
5 = 1
Zauważmy, że 3 = a
2+b
2+c
2 = (a+b+c)
2−2(ab+ac+bc) = 1 − 2(ab+ac+bc) ⇔ ab+ac+bc = −1
Teraz zajmujemy się ostatnim równaniem:
1 = a
5+b
5+c
5 = (a
4+b
4+c
4)(a+b+c)−(ab+ac+bc)(a
3+b
3+c
3)+abc(a
2+b
2+c
2) = (a
4+b
4+c
4)
+ (a
3+b
3+c
3) + 3abc = ((a
2+b
2+c
2)
2−2(ab+ac+bc)
2+4abc(a+b+c)) +
((a+b+c)(a
2+b
2+c
2)−(a+b+c)(ab+ac+bc)+3abc) + 3abc = (9−2+4abc) + (4+3abc) + 3abc = 11+10abc
⇔ abc=−1
Mamy zatem:
{a+b+c=1
{ab+ac+bc=−1
{abc=−1
Rozpatrzmy teraz wielomian W(t) którego pierwiastkami są a,b,c:
W(t) = (t−a)(t−b)(t−c) = t
3+pt
2+qt+r
Ze wzorów Viete'a wynika, że:
{p = −a−b−c = −1
{q = ab+ac+bc = −1
{r = −abc = 1
Czyli W(t) = t
3−t
2−t+1 = (x−1)
2(x+1)
Czyli jego pierwiastkami są −1 oraz 1(dwukrotny) czyli rozwiązaniem naszego układu są pary:
(a,b,c) = (1,1,−1) v (1,−1,1) v (−1,1,1)
Ogólnie rozwiązując takie układy staramy się z tego co mamy ,,wyciągnąć" ile wynoszą wielomiany
o których mówią wzory Viete'a, dla 2 niewiadomych mamy znaleźć a+b, ab, dla 3 a+b+c, ab+ac+bc,
abc itd... wówczas będziemy mogli jak wyżej znaleźć wielomian którego pierwiastkami będą nasze
niewiadome, co da nam rozwiązanie układu
Pozdrawiam.
12 lip 00:28
Jack:
niegłupie...
12 lip 01:15
TPB: Dziękuję bardzo. Cóż mój układ równań stety czy niestety jest taki jak napisałem powyżej. Będę
w takim razie próbował, bardzo Wam dziękuję za porady. Z pewnością się przyda, a ja będę nad
swoim jeszcze kombinował.
12 lip 07:56
TPB: Postanowiłem popracować trochę i wyszło mi rozwiązanie. Twój rozkład tych piątych potęg...
podstawiłem jedynie swoje dane i wyszło mi, że abc = 1. Potem skonstruowałem wielomian przy
użyciu wzorów Viete'a i wyszło coś takiego:
x
3−3x
2+3x−1 = 0
A to jest wzór skróconego mnożenia:
(x−1)
3 = 0
stąd x = 1, a więc jedynym rozwiązaniem układu będzie trójka (a,b,c)=(1,1,1)
Bardzo Ci dziękuję za pomoc. Chylę czoła, bo Twoje umiejętności algebraiczne to brak mi słów
dosłownie. Masz pewnie doświadczenie w kminieniu takich zadanek
Ta emotikonka mi
zasugerowała, że jak rozwiązywałeś swój układ, to mój da się tak samo. Tak czy inaczej Vax
jesteś wielki. Bardzo Ci dziękuję za pomoc. Może teraz jakoś pójdą mi te zadanka.
Pozdrawiam i jeszcze raz dziękuję.
12 lip 08:22