Liczby zespolone Zen64 i hwdtel: W oparciu o liczby zespolone rozwiąż poniższy układ równań

⎧	x3 − 3y2x + 2 = 0
⎩	y3−3x2y + 2 = 0

Basia: x³−3xy²+2 = y³−3x²y+2 x³−y³ +3x²y−3xy² =0 (x−y)(x²+xy+y²) + 3xy(x−y)=0 (x−y)(x²+4xy+y²)=0 1. x−y = 0 x=y wtedy z pierwszego mamy x³−3x³+2 = 0 −2x³+2=0 2x³ = 2 x³=1 x=1 ∧ y=1 2. x²+4xy+y²=0 rozwiązanie (0,0) odrzucamy bo nie spełnia równań początkowych ale na dalsze rozwiązanie tego równania nie mam żadnego sensownego pomysłu

ICSP: Basiu to może ja coś zaproponuję Według podstawowego twierdzenia algebry wiemy że x³ =1 posiada trzy rozwiązania: x³ −1=(x−1)(x² + x + 1) x² + x + 1 = 0 Δ = −3 √Δ = √3i

	−1 + √3i
x1 =
	2

	−1 − √3i
x2 =
	2

Basia: oj prawda; zapomniałam, że to mają być liczby zespolone; tylko co zrobić z tym drugim "paskudztwem"

ICSP: x² + 4xy + y² = (x+y)² + 2xy = (x+y)² − i²*2xy = (x+y)² − (√2xyi)² = (x + √2xyi + y)(x − √2xyi + y). Można w ogóle coś takiego zastosować?

Trivial: x² + 4xy + y² = 0 Zawsze można wyznaczyć stąd x(y) lub y(x) i podstawić do któregoś z równań (pracochłonne).

Basia: ICPS można, ale obawiam się, że to niewiele da, bo z tego będzie x+y = √2xy*i lub x+y = −√2xyi i po podniesieniu do kwadratu dostaniemy x²+2xy+y² = 2xy*i² x²+2xy+y² = −2xy x²+4xy+y²=0 czyli "w koło Macieju"

Trivial: x² + 4xy + y² = 0 y² + 4xy + x² = 0 Δ = 16x² − 4x² = 12x² √Δ = 2√3|x|.

	−4x ± 2√3|x|
y =		− i tak rozważamy dwa przypadki, moduł można pominąć, czyli:
	2

y = x(−2±√3). x³ − 3y²x + 2 = 0 x³ − 3[x(−2±√3)]²x + 2 = 0 x³ − 3(4±4√3+3)x³ + 2 = 0 x³[1 − 3(7±4√3)] + 2 = 0 x³[1 − 21 ± 12√3] = −2

	−2
x3 =
	−20±12√3

	1
x3 =
	10±6√3

Dalej mi się nie chce.

ICSP: 10 + 6√3 = (1 − √3)³

ICSP: (1+ √3)³

x3:

⎧	x3−3y2x+2=0
⎩	y3−3x2y+2=0/i

⎧	x3−3y2x=−2
⎩	iy3−3ix2y=−2i

Teraz odejmuję od pierwszego równania drugie(stronami) x³+3ix²y−3y²−iy³=−2+2i , ale x³+3ix²−3y²x−iy³=(x+iy)³ ,czyli x+iy=³√−2+2i I mamy standardowe równanie rozwiązywane " trygonometrią i wzorem Mo i vre I darujcie sobie tę całą kazuistykę i sofizmaty powyżej,to" godne " docenta Kitajewa i studenta Goridze

AS: A może tak? Rozwiązuję jak równanie jednorodne. Podstawiam y = t*x do obu równań i stronami dzielę x³ − 3t²x³ = −2 t³x³ − 3tx² = −2 x³(1 − 3t²) = −2 x³(t³ − 3t) = −2 równania stronami dzielę przez siebie,przy zał. że x ≠ 0

1 − 3t2		−2
	=		= 1 ⇒ t3 + 3t2 − 3t − 1 = 0 ⇒ (t − 1)(t2 + 4t + 1) = 0
t3 − 3t		−2

Rozwiążaniem ostatniego równania są liczby: t1 = 1 , t2 = −2 − √3 , t3 = −2 + √3 Stąd mamy: y = x lub y = (−2 − √3)x lub y = (−2 + √3)x Podstawiając znalezione y do pierwszego (lub drugiego) równania znajdziemy x a następnie y. Dalej nie chce mi się już liczyć,kto ciekawy niech liczy.