Zadania dla chętnych ;) Nie jestem mądry: 1. Trzy kwadraty mają jednakowy rozmiar i są przystające(rys.) Znajdz sumę kątów α+β+γ 2. W ostrosłup trójkątny o wysokościach h₁, h₂, h₃ ,h₄ wpisano kulę o promieniu r.Udowodnić ,że r⁻¹=h₁⁻¹+h₂⁻¹+h₃⁻¹+h₄⁻¹ 3.

	π
Wiadomo że a>0, 0<α<
	2

	1
Udowodnić , że (a+U{1}{cosα)(a+		> a2+2a+2
	sinα

4. Rozwiąż równanie: 6³√x−3+³√x−2= 5⁶√(x−3)(x−2) 5. x+y+z=0 Udowodnij, że x³+y³+z³= 3xyz 6. Suma m różnych parzystych i n różnych nieparzystych liczb naturalnych nie jest większa od 1996. Znalezć największa wartość wyrażenia 3m+4n. Na razie tyle jeśli się wam spodoba to mogę napisać jeszcze kilka zadań

Nie jestem mądry: Przepraszam za trzecie już naprawiam :

	1		1
Udowodnij że (a+		)(a+		) > a2+2a+2
	cosα		sinα

	π
a>0 0<α<
	2

Vax: 1) Rysujemy trójkąt BDC jak wyżej, z tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa pokazujemy, że jest on prostokątny, z tw. Pitagorasa pokazujemy, że jest on równoramienny, czyli kąt DBC = 45*, ale nietrudno zauważyć, że w naszym zadaniu β = kąt DBA oraz γ = kąt ABC czyli β+γ = DBA+ABC = 45*, dodajemy do tego kąt α = 45* (wiadomo czemu 45*) i otrzymujemy: α+β+γ = 90*

Vax: 5) Zauważ, że x³+y³+z³ = (x+y+z)(x²+y²+z²−xy−yz−zx)+3xyz co bezpośrednio prowadzi do tezy.

Vax: 4) Podstawmy: a = ³√x−3 b = ³√x−2 Wówczas możemy ułożyć następujący układ równań: {6a+b = 5√ab {a³−b³ = −1 1 równanie jest równoważne (2√a−√b)(3√a−√b) = 0 skąd wynika b=4a v b=9a w 1 przypadku podstawiając do 2 równania otrzymujemy:

	1		190
−63a3 = −1 ⇔ a3 =		⇒ x = a3+3 =
	63		63

	1		2185
W 2 przypadku otrzymujemy −728a3=−1 ⇔ a3 =		⇒ x =		czyli dane równanie
	728		728

	190		2185
ma 2 rozwiązania x =		v x =
	63		728

Nie jestem mądry: Na razie dobrze a co z zadaniami 2,3 i 6 ?

Vax:

	1		1		1		1		1
2) Mamy pokazać		=		+		+		+		, ze wzoru na objętość
	r		h1		h2		h3		h4

ostrosłupa mamy:

	P1*h1		1		P1
V =		⇔ 3V = P1*h1 ⇔		=
	3		h1		3V

Analogicznie

1		P2		1		P3		1		P4
	=		,		=		,		=		sumując dostajemy:
h2		3V		h3		3V		h4		3V

1		1		1		1		1
	+		+		+		=		(P1+P2+P3+P4)
h1		h2		h3		h4		3V

Teza jest więc równoważna pokazaniu, że:

3V
	= P1+P2+P3+P4
r

Niech teraz I będzie środkiem kuli wpisanej w nasz ostrosłup, zauważmy, że objętość czworościanu ABCI wyraża się (P₁ to pole ABC):

	P1*r
V1 =
	3

Analogicznie pozostałe ostrosłupy no i sumując otrzymujemy:

	r
V = V1+V2+V3+V4 =		(P1+P2+P3+P4) ⇔ 3V = r(P1+P2+P3+P4) teraz wystarczy
	3

podstawić, r nam się skraca i otrzymujemy prawdziwą równość: P₁+P₂+P₃+P₄ = P₁+P₂+P₃+P₄, cnd.

Vax: 3) Oczywiście z założenia mamy sinα , cosα ∊ (0 ; 1) teraz naszą nierówność wymnażamy i zauważamy, że jest ona równoważna:

	1		1		1
a2 + a(		+		)+		> a2+2a+2
	sinα		cosα		sinαcosα

czyli

	1		1		1
a(		+		) +		> 2a+2
	sinα		cosα		sinαcosα

Ale teraz zauważmy, że zachodzi:

1
	≥ 2 ⇔ 1 ≥ 2sinαcosα = sin(2α) co jest oczywiste, czyli mamy dowieść, że:
sinαcosα

1		1
	+		> 2 ⇔ sinα+cosα > 2sinαcosα ⇔ sinα(1−cosα)+cosα(1−sinα) > 0 co będzie
sinα		cosα

oczywiście zawsze spełnione, ponieważ z założenia mamy sinα,cosα ∊ (0;1) cnd.