Nierówność 9abc ≤ ab + bc + ca ≤ 2abc + 7/27 teofrast: Pokazać, że jeśli a≥0, b≥0, c≥0, oraz a+b+c = 1, to zachodzi nierówność 9abc ≤ ab + bc + ca ≤ 2abc + ⁷₂₇

Vax: 1 nierówność po podzieleniu przez abc jest równoważna:

	1		1		1
9 ≤		+		+
	a		b		c

Co wynika z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną, 2 nierówność zapisujemy w postaci:

	7
ab+bc+ca − 2abc ≤
	27

Teraz oznaczmy: {p = a+b+c = 1 {q = ab+ac+bc {r = abc

	7
Wówczas nasza nierówność przyjmuje postać q−2r ≤		rozpatrzmy teraz wielomian:
	27

W(t) = (t−a)(t−b)(t−c) = t³−pt²+qt−r = t³−t²+qt−r, teza zadania jest równoważna pokazaniu, że:

	1		1
W(		) ≤
	2		216

	1
Zauważmy, że skoro a,b,c ∊ <0;1> to jedynie jedna z niewiadomych może być >		, jeżeli
	2

któraś z nich będzie daną nierówność spełniała to:

	1		1		1
(		−a)(		−b)(		−c) < 0 więc na pewno daną nierówność będzie spełniało, jeżeli
	2		2		2

	1
wszystkie niewiadome są ≤		to z am−gm:
	2

	1		1		1		1/2−a + 1/2−b + 1/2−c		1		1
(		−a)(		−b)(		−c) ≤ (		)3 = (		)3 =
	2		2		2		3		6		216

cnd. Pozdrawiam.

teofrast: Dziękuję bardzo! <teofrast>