pochodne i calki ja: czy ktos byłby w stanie pomoc rozwiazac te zadanka? Byłabym bardzo wdzieczna zad1 zbadaj zbieznosc szeregu ∑ (−1)ⁿ⁻¹/ 2n−1 za2 wyznaczyc pochodne funkcji zlozonej: y=u²e^v ; u=sin x ; v=cos x zad3 znalezc calke ogolna rownania: x dx+(y+1)dy=0 i wydzielic krzywa calkowa przechodzaca przez punkt (0,0) zad4 znalezc calke ogolna rownania: y'= −2xy zad5 scalkowac rownanie y'− 2xy = 2x³y² i znalezc krzywa calkowa przechodzaca przez punkt (0,1) zad6 rozwiazac rownanie rozniczkowe: y'''−2y''+4y'−8y=0

Basia: Bawię się na razie (1)

ja: dziekuje, że próbujesz

Trivial: 2. y = sin²x*e^cosx y' = (sin²x)'*e^cosx + sin²x*(e^cosx)' = 2sinxcosx*e^cosx + sin²x*e^cosx*(−sinx) = = e^cosx(sin2x − sin³x).

Trivial: Uprzedzam, że nie miałem jeszcze równań różniczkowych. 3. xdx + (y+1)dy = 0 xdx = −(y+1)dy ∫xdx = −∫(y+1)dy

x2		y2
	= −		−y + c.
2		2

Trivial: 4. y' = −2xy

dy
	= −2xy
dx

dy
	= −2xdx
y

ln|y| = −x² + c.

Basia:

	(−1)n−1
∑		=
	2n−1

1		1		1		1		1		1		1
	−		+		−		+		−		+		+...... =
1		3		5		7		9		11		13

	1		1
1 + ∑n=2.... [		−		] =
	2n+1		2n−1

	2n−1−2n−1
1+ ∑n=2,....		=
	(2n+1)(2n−1)

	−2
1+ ∑n=2,....		=
	4n2−1

	1
1−2 ∑n=2,....
	4n2−1

	1
∑n=2,....		jest szeregiem o wyrazach dodatnich
	4n2−1

na mocy kryterium ilorazowego (patrz http://pl.wikipedia.org/wiki/Kryteria_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_szereg%C3%B3w) jest zbieżny, bo

	1   n2
g=limn→+∞		=
	1   4n2−1

	4n2−1
limn→+∞		=
	n2

	1
limn→+∞ [ 4 −		] = 4
	n2

0 < g < 4

	1		1
i szereg ∑		jest zbieżny ⇒ ∑		też musi być zbieżny ⇒
	n2		4n2−1

	1
1 − 2∑		też musi być zbieżny
	4n2−1

można też (i chyba będzie szybciej) zastosować kryterium Leibniza

	1
limn→+∞		= 0
	2n−1

	1		1
an+1−an =		−		=
	2(n+1)−1		2n−1

1		1
	−		=
2n+1		2n−1

2n−1 − (2n+1)
	=
(2n+1)(2n−1)

−2
	< 0 dla każdego n∊N+
4n2−1

czyli jest to ciąg malejący (no to tym bardziej jest nierosnący) stąd na mocy kryterium Leibniza

	1
∑(−1)n		jest zbieżny
	2n−1

	1		1   (−1)n   2n−1		1
∑(−1)n−1		= ∑		= − ∑(−1)n
	2n−1		−1		2n−1

czyli też musi być zbieżny

Jack: (1) zbieżny warunkowo Z Leibniza wyjdzie że jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie.

Basia: no to zrobię jeszcze (5) a z (6) może Jack powalczy

Basia: a sorry myślałam o (4), a to już Trivial załatwił (5) i (6) dla Jacka, strasznie nie lubię tych równań

Jack: ok y'''−2y''+4y'−8y=0 zamieniamy na równanie ch−czne. r³−2r²+4r−8=0 r²(r−2)+4(r−2)=0 (r−2)(r+2i)(r−2i)=0 Mamy jeden pierwiastek zespolony (z dokładnością do sprzężenia) więc: y(x)=C₁e^2x+ C₁sin2x+C₃cos2x

Jack: (5) Scalkowac rownanie y'− 2xy = 2x³y² i znalezc krzywa calkowa przechodzaca przez punkt (0,1) y'− 2xy = 2x³y² /:y² y≠0

y'		2x
	−		=2x3
y2		y

Podstawienie: z=y⁻¹

	−1		y'
z'=		y' →		=−z'
	y2		y2

Stąd: −z'−2xz=2x³ CORJ: −z'−2xz=0

dz
	=−2xdx
z

ln |z| = −x² + c₁ z=Ce^−x2 CORN (uzmiennienie stałej): z'=C'e^−x2−C2xe^−x2 Podstawiając do wyjściowego mamy: −C'e^−x2+C2xe^−x2−2xCe^−x2=2x³ C'=2x³e^−x2 ⇒ C=−e^−x2(x²+1) +C₂ Zatem : z=[−e^−x2(x²+1) +C₂]e^−x2=−x²−1+C₂e^−x2 a po powrotnym podstawieniu:

	1		1
z=		⇒ y=
	y		−x2−1+C2e−x2

Teraz masz y(0)=1

	1		1
czyli 1=		⇒ C2=2 a więc szukana krzywa to: y=
	−1+C2		−x2−1+2e−x2

ja: Dziękuję Wam bardzo kochani Życzę spokojnej nocy i udanego weekendu

Jack: a dzięki, jutro idę na wieczór kawalerski Będzie oooostrooo... Tobie również udanego!