ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych Piotr student: Zbadać ekstrema funkcji z=f(x,y)=x⁴+y⁴−4axy

Basia: to trzeba zrobić niemal identycznie jak poprzednie spróbuj sam, inaczej się nie nauczysz pisz tu krok po kroku najpierw oblicz f'_x i f'_y i podaj wyniki

Piotr student: f(x,y)=x⁴+y⁴−4axy f'x=4x³−4ay f'y=4y³−4ax f'x=0 f'y=0

⎧	4x3−4ay=0/:4
⎩	4y3−4ax=0/:4

Piotr student:

⎧	x3−ay=0
⎩	y3−ax=0

Basia: dobrze czyli masz x³ − ay =0 y³ − ax = 0 ay = x³ no i teraz musisz rozważyć te dwa przypadki: 1. a=0 (bo wtedy nie możesz dzielić przez a) 2. a≠0 (wtedy dzielisz przez a, i podstawiasz do drugiego równania) rozważ najpierw przypadek 1 czyli a=0 zauważ, że w tym przypadku f(x,y) = x⁴+y⁴ f'_x = 4x³ f'_y = 4y³ 4x³=0 4y³=0 x=0 i y=0 P(0,0) policz teraz f"_xx itd. W(x,y)

Piotr student: a czego jest ay=x³

Basia: x³ − ay = 0 /+ay x³ = ay ay = x³

Piotr student: x³=0 y³=0

Basia: dobrze i co dalej ?

Piotr student: x³−ay=0 przenoszę na drugą stronę dlatego będzie +ay dobrze myśle Basiu

Piotr student: tu nie dziele prawda

Basia: dobrze myślisz, ale najpierw dokończ ten przypadek gdy a=0 masz układ x³=0 y³=0 i co dalej

Piotr student: f'x=4x³−4ay f'y=4y³−4ax f''xx=(4x³)−(4ay)'=12x f''yy=(4y³)'−(4ax)'=12y

Piotr student: f''xy=−4*0=0 bo za a podstawiam 0

Piotr student: f''yx=−4*0*1bo to pochodna z x to jeden f''yx=0

Basia: f"_xy = f"_yx = 0 dobrze W(x,y) = 12x*12*y − 0*0 = 144xy W(0,0) = 144*0*0 = 0 i nie da się rozstrzygnąć czy tu jest ekstremum

Piotr student: już chyba nic nie trzeba liczyć

Basia: teraz przypadek gdy a≠0 mieliśmy f'_x = 4x³ − 4ay f'_y = 4y³ − 4ax 4x³ − 4ay = 0 /:4 4y³ − 4ax = 0 /:4 x³ − ay = 0 /+ay y³ − ax = 0 x³ = ay ay = x³ /:a

	x3
y =
	a

podstawiamy do (2)

	x3
[		]3 − ax = 0
	a

x6
	− ax = 0 /*a3
a3

x⁶ − a⁴x = 0 x(x⁵ − a⁴) = 0 x = 0 lub x⁵−a⁴ = 0 x⁵ = a⁴ x = ⁵√a⁴ = a^4/5

	03
x = 0 ⇒ y =		= 0
	a

mamy punkt P(0,0)

	(a4/5)3		a12/5
x = a4/5 ⇒ y =		=		= a7/5
	a		a

czyli mogą być ekstrema w każdym z punktów Q(a^4/5, a^7/5) policz drugie pochodne i spróbuj dokończyć

Basia: oj błąd (x³)³ = x⁹

x9
	−ax = 0
a3

x⁹ − a⁴x = 0 x(x⁸−a⁴)=0 x = 0 lub x⁸ − a⁴ = 0 (x⁴−a²)(x⁴+a²)=0 x⁴+a² nie może =0 x⁴−a²=0 (x²−a)(x²+a) = 0 x² = a co jest możliwe tylko dla a>0 x = √a lub x= −√a lub x² = −a co jest możliwe tylko dla a<0 x = p{−a) lub x = −√−a

Basia: jeszcze trochę policzę:

	03
x = 0 ⇒ y =		= 0
	a

P(0,0) dla a>0

	(√a)3		a√a
x = √a ⇒ y =		=		= √a
	a		a

czyli może być każdy z punktów Q(√a, √a)

	(−√a)3		−a√a
x= −√a ⇒ y =		=		= −√a
	a		a

czyli może być każdy z punktów R(−√a, −√a) dla a<0

	(√−a)3		−a√−a
x = √−a ⇒ y =		=		= −√−a
	a		a

czyli może być każdy z punktów S(√−a, −√−a)

	(−√−a)3		a√−a
x = −√−a ⇒ y =		=		= √−a
	a		a

czyli może być każdy z punktów T(−√−a, √−a) teraz liczymy drugie pochodne, W(x,y) i obliczamy jego wartość w punktach P,Q,R,S,T no i jeśli trzeba wartość f"_xx w tych punktach i wyciągamy wnioski spróbuj dokończyć