Ciąg (an) określony jest wzorem an=4n−13 vladimirovna: Ciąg (a_n) określony jest wzorem a_n=4n−13. Znajdź wszystkie liczby naturalne k, takie, że wyrazy a_k, a_k+1, a_k+2 są liczbami pierwszymi. obliczyłam sobie 7 początkowych wyrazów, i owszem są tam 3 kolejne liczby pierwsze, ale cóż z tego... We wskazówkach było napisane, aby udowodnić, że 1 z 3 kolejnych wyrazów ciągu musi być podzielny przez 3. Nie wiem, czy można tak uodwodnić, ale ja to zrobiłam tak: ³ / _ak ⋁ ³ /_ak+r ⋁ ³/{ak+2r) ⇔ ³/_{ak+ak+r+ak+2r} ⇔ (3a_k+3r)/3 ⇔ a_k+r Ale nie wiem po co mi to i nie iwem jak to ugryźć.

Basia: a_n jest ciągiem arytmetycznym r=4 a_n=k a_n+1 = k+4 a_n+2 = k+8 mamy trzy możliwości: 1. k jest podzielne przez 3 ⇒ a_n|3 co kończy dowód 2. k daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1 k = 3*m+1 wtedy a_n+1=3m+1+4 = 3m+5 a_n+2 = 3m+1+8 = 3m+9= 3(m+3) |3 3. k daje przy dzieleniu przez 3 resztę 2 k = 3*m+2 wtedy a_n+1=3m+1+2 = 3m+3 = 3(m+1) |3 skoro jeden z trzech kolejnych wyrazów ciągu musi być podzielny przez 3 i ma być liczbą pierwszą to musi być po prostu równy 3 (jedyną liczbą pierwszą podzielną przez 3 jest 3) stąd: 4n−13=3 4n = 16 n = 4 mogą to więc być trójki wyrazów: a₂, a₃, a₄ lub a₃, a₄, a₅ lub a₄, a₅, a₆ (ale nie wszystkie muszą) policz a₂, a₃, a₄=3, a₅, a₆ i wybierz odpowiednie trójki

vladimirovna: Dziękuję bardzo Basiu!

stefan: Może mi ktoś wytłumaczyc to, bo jakoś ie bardzo rozumiem

Jack: Wystarczy udowodnić że iloczyn każdych trzech kolejnych liczb z ciągu a_n=4n−13 jest podzielny przez 3 (znajduje się wśród każdej trójki jakaś krotność liczby 3). Można dojść do tego z obserwacji, jednak dowód jest konieczny. Wobec tego a_n*a_n+1*a_a+2=(4n−13)(4n−9)(4n−5) Teraz podstawiasz liczbę n=3k, n=3k+1, n=3k+2 i pokazujesz że za każdym razem iloczyn będzie podzielny przez 3. To oznacza, że jedyną trójkę MOŻE (ale nie musi, trzeba będzie to sprawdzić) być taka trójka, w której siedzi liczba 3 (ona sama jest podzielna przez 3, ale jest liczbą pierwszą). dla n=4,5,6 mamy: a₄=3, a₅=7, a₆=11. Jednak może być tak, że a₄ kończy pewien ciąg 3 kolejnych liczb pierwszych, a więc sprawdzamy jeszcze a₂, a₃ − lecz widać, że dla n=2 otrzymujemy wyrazy ujemne więc ta możliwość odpada (liczb pierwsza to taka liczba naturalna, która.... − a wiec skoro naturalna to dodatnia/nieujemna).