Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych Piotr student: Zbadać ekstrema funkcji z=f(x,y): f(x,y)=x³+y³−3axy mam problem z tym zadaniem

Piotr student: f'x=3x²+−3ay

Piotr student: nie wiem jak wyliczyc pochodną z −3axy

Piotr student: proszę

Basia: f'_x = 3x²−3ay f'_y = 3y²−3ax 3x² − 3ay=0 /:3 3y² − 3ax=0 /:3 x² − ay =0 y² − ax =0 dwa przypadki: 1. a=0 x²=0 y²=0 x=0 y=0 P(0,0) f(x,y) = x³+y³ f'_x = 3x² f'_y = 3y² dalej już będzie łatwo, spróbuj dokończyć 2. a≠0 ay = x²

	x2
y =
	a

	x2
(		)2 − ax=0
	a

x4
	− ax = 0
a2

	x3
x(		−a) = 0
	a2

x=0 ⇒ y=0 czyli A(0,0) lub

x3
	−a=0
a2

x3
	=a /*a2
a2

x³ = a³

	a2
x=a ⇒ y=		=a czyli B(a,a)
	a

potrafisz już dalej policzyć ?

Piotr student: Basiu skąd się wziło a=0 bo tego nie rozumiem

Piotr student:

Piotr student:

Basia: ay = x² rozważam dwa przypadki 1. nie mogę dzielić przez a ⇔ a=0 2. mogę dzielić przez a ⇔ a≠0

Piotr student: mam pytanie f'x=3x² po tym liczę f''xx, f''yy, f''xy, f''yx f'y=3y²

Piotr student: Basiu proszę

Basia: dla a=0 f(x,y) = x³+y³ f'_x = 3x² f'_y = 3y² P(0,0) f"_xx = 6x f"_xy = 0 f"_yx = 0 f"_yy = 6y W(x,y) = 36xy − 0 = 36xy W(0,0) = 0 i nie da się rozstrzygnąć czy jest w tym punkcie ekstremum

Basia: dla a≠0 f'_x = 3x² − 3ay f'_y = 3y² − 3ax f"_xx = 6x f"_xy = −3a f"_yx = −3a f"_yy = 6y W(x,y) = 36xy − 9a² A(0,0) W(0,0) = −9a² < 0 nie ma ekstremum B(a,a) W(a,a) = 36a²−9a² = 17a² > 0 jest ekstremumx f"_x,x(a,a) = 6a czyli w każdym punkcie B(a,a) gdzie a<0 masz maksimum, a w każdym punkcie B(a,a) gdzie a>0 masz minimum

Piotr student: czego tu jest f''xx(a,a)=6a moge prosić o wyłumaczenie

Piotr student: proszę Basiu

Basia: f"_xx(x,y) = 6x f"_xx(a,a) = 6a bo za x podstawisz a, a za y nic nie podstawiasz, bo go tam nie ma