Zbadaj monoronicznosc ciągu vladimirovna: Dany jest ciąg o wzorze ogólnym an=(2n+1)/2 − [1+3+5+...+(2n−1)]/(n+1). zbadaj monotoniczność tego ciągu. Co udało mi się zrobić: obliczyłam ilość wyrazów drugiej części ciągu, tj. n−1 i zapisałam powyższy ciąg w postaci a_n=(n²−n+2)/(n+1) natomiast a_n+1 =(n²+n+2)/(n+2) różnica: (n²+3n−2)/(n+1)(n+2) Czy mógłby mi ktoś sprawdzić? Byłabym wdzięczna. No i oczywiście określić, na jakiej podstawie mam to stwierdzić. Coś mi się nie wydaje, że do tego momentu zrobiłam to poprawnie.

krystek: Przedstaw różnice w postaci (n+1)²(n+2)² i masz odpowiedź ,że ciąg jest rosnący. (Pierwszy nawias−rożłóż na czynniki.) Samych obliczeń nie sprawdzałem.

vladimirovna: Jeszcze raz zrobiłam to zadanie i zauważyłam mały, choć znaczący błąd na początku mojego rozwiązania, a mianowicie jest n wyrazów w ciągu, co zmienia całkowicie postać rzeczy. Różnica po wprowadzeniu poprawki wyniosła −1/(n+1)(n+2) Mianownik jest zawsze dodatni, gdyż n≠−1 ⋀ n≠−2 Dla n≤−3 mianownik przyjmuje wartości dodatnie, no i dla liczb dodatnich rownież Chyba jest dobrze <?>

ziomek: Napisz w jaki sposób policzyłaś ilość wyrazów drugiej części ciągu.

vladimirovna: a_n= a₁+(x−1)r skorzystałam z tego wzoru następnie a_n=1+2x+2 2x−1=2n−1 2x=2n x=n

ziomek: a gdzie jest powiedziane, że to ma być ciąg arytmetyczny?

vladimirovna: no nie ma nigdzie

Basia: 1,3,5,....,2n−1 to n−ta suma częściowa ciągu b_n = 2n−1, arytmetycznego, w którym b₁=1 r=2

	1+2n−1		2n2
1+3+5+....+(2n−1) =		*n =		= n2
	2		2

	2n+1		n2
an =		−		=
	2		n+1

(2n+1)(n+1) − 2n2		2n2+3n+1−2n2		3n+1		3n+1
	=		=		=
2(n+1)		2(n+1)		2(n+1)		2n+2

	3(n+1)+1		3n+4
an+1 =		=
	2(n+1)+2		2n+4

	3n+4		3n+1
an+1−an =		−		=
	2n+4		2n+2

3n+4		3n+1
	−		=
2(n+2)		2(n+1)

(3n+4)(n+1) − (3n+1)(n+2)
	=
2(n+1)(n+2)

3n2+7n+4 − 3n2 − 7n − 2
	=
2(n+1)(n+2)

2		1
	=		> 0 dla każdego n∊N ⇒
2(n+1)(n+2)		(n+1)(n+2)

ciąg {a_n} jest rosnący

ziomek: a czy wzór ogólny tego ciągu jest przepisany bez błędów?

vladimirovna: tak wzór ogólny jest przepisany poprawnie