równanie rzutu prostopadłego prostej do płaszczyzny Reynevan: Wyznacz równanie rzutu prostopadłego prostej

	⎧	x=t+1
l=	⎨	y=−2t
	⎩	z=3t+1

na płaszczyznę 4x−y+3z+1=0 Wrzucałem wcześniej, ale niepełne. Teraz są wszystkie dane

Basia: Schemat rozwiązania: (możliwe, że można prostszym sposobem) 1. szukamy p−tu A wspólnego prostej i płaszczyzny 4(t+1)−(−2t)+3(3t+1)+1=0 4t+4+2t+9t+3+1=0 15t = −8 t = −⁸₁₅ x = ⁷₁₅ y = ¹⁶₁₅ z = −⁹₁₅ A( ⁷₁₅, ¹⁶₁₅, −⁹₁₅ ) 2. wybieramy sobie na prostej dowolny punkt B≠A np. dla t=0 B(1,0,1) i B∉do płaszczyzny 3. piszemy równanie prostej k: prostopadłej do płaszczyzny i przechodzącej przez B 4. punt wspólny pr.k i płaszczyzny to B' (rzut punktu B) 5. szukaną prostą jest prosta AB'

AS: A jak nie ma np. gdy jest równoległa do płaszczyzny?

Basia: to wybierasz dwa dowolne punkty A, B z tej prostej i piszesz równania prostych prostopadłych do płaszczyzny przechodzących przez te punkty k_a i k_b punkty wspólne k_a i k_b z płaszczyzną to A' i B', które wyznaczają pr.A'B' będącą rzutem pr.AB jak napisałam na początku są chyba jakieś uproszczone metody, ale ja już ich nie pamiętam

AS: Podaję receptę na wyliczenie rzutu prostopadłego punktu na płaszczyznę Wyznaczyć współrzędne rzutu punktu P(xo,yo,zo) na płaszczyznę daną równaniem A*x + B* y + C*z + D = 0 Punkt P(xo,yo,zo) P(2,3,4) Płaszczyzna A*x + B* y + C*z + D = 0 3x – 2y – z + 11 = 0 Napisać równanie prostej prostopadłej przez punkt P (x – xo)/A = (y – yo)/B = (z – zo)/C = t (x – 2)/3 = (y – 3)/(–2) = (z – 4)/(–1) = t lub w postaci parametrycznej x = xo + A*t , y = yo + B*t , z = zo + C*t x = 2 + 3*t , y = 3 – 2*t , z = 4 – t Wstawić (x,y,z) do równania płaszczyzny i obliczyć t 3*(2 + 3*t) – 2*(3 – 2*t) – (4 – t) + 11 = 0 => t = –1/2 Wyliczyć współrzędne x,y i z. x = 2 – 3/2 = 1/2 , y = 3 + 1 = 4 , z = 4 + 1/2 = 9/2