Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x,y)=ln(x^2y)-x^2+2y Reynevan: Witam Mam mały problem z tym zadaniem, wychodzą mi dwa punty i w obu mam maksimum...coś tu jest nie tak f(x,y)=ln(x²y)−x²+2y

df		1		2xy		2
	=		*2xy−2x=		−2x=		−2x stąd wychodzi mi x=1 lub x=−1
dx		x2y		x2y		x

df		1		x2		1		1
	=		*x2+2=		+2=		+2 stąd wychodzi mi y=−
dy		x2y		x2y		y		2

	1		1
Zatem mam punkty P1(1,−		) i P2 (−1,−		) ?
	2		2

Dalej,

d2f		2		2
	=(		−2x)'=−		−2
dxdx		x		x2

d2f		2
	=(		−2x)'=0
dxdy		x

d2f		1
	=(		+2)'=0
dydx		y

d2f		1		1
	=(		+2)'=−
dydy		y		y2

Teraz do końca nie wiem co mam zrobić, chyba liczyć wyznacznik taki:

	2
| −		−2 0 |
	x2

	1
W | 0 −		| tak ?
	y2

	2		1		2		2
Wychodzi mi (−		−2)*(−		)=		+
	x2		y2		x2y2		y2

Potem podstawiłem do tego swoje punkty i w obu wypadkach wychodzi mi 16, więc jest ekstremum, a

	d2f
podstawiając do		wychodzi mi −4, zatem maksimum. Dobrze w ogóle rozumuję kiedy
	dxdx

jest ekstremum i kiedy maksimum ? W każdym razie w obu wypadkach mam maksimum ! Co jest nie tak ? Bardzo proszę o pomoc ! Jutro mam egzamin i muszę to rozwiązać !

Jack: http://pl.wikipedia.org/wiki/Ekstremum#Ekstrema_a_druga_pochodna wydaje mi się ze jest ok. funkcja nie jest określona w całej dziedzinie np. w (0,0) i tu wybucha do −∞, stad taki wynik.

Reynevan: Czyli funkcja nie posiada ekstremum ?

Reynevan: Trochę się pogubiłem

Basia: Zdaje mi się, że wszystko jest dobrze policzone, ale jeszcze przeliczę. To co napisałeś słowami jest jak najbardziej poprawne. Nie ma żadnych przeszkód żeby istniały dwa maksima, bo funkcja nie jest określona w punktach (x,y) gdzie x∊R i y≤0. Dla funkcji jednej zmiennej też tak może być podobnie. Przykład: −x²−4x−8 dla x<0 f(x) = −x²+4x−8 dla x≥0 ta funkcja jest nawet, jak widać, określona w całym zbiorze R i ma dwa maksima w p−cie 0 bowiem nie ma minimum, mimo, że funkcja jest tam ciągła (pochodna dla x=0 nie jest równa 0), jest tzw.ostrze

Basia: poprawka: nie jest określona dla x=0 i y≤0

Jack: nie jest określona dla x=0 lub y≤0 Ale zgadzam się z interpretacją Basi

Basia: dokładnie to chciałam napisać, że nie jest określona w każdym punkcie (x,y) gdzie x∊R i y≤0 oraz w każdym punkcie (x,y) gdzie x=0 i y∊R; tylko ta druga część mi zginęła

Reynevan: Jaka będzie w takim razie odpowiedź ? Funkcja posiada maksimum w P1 i P2 ? Wybaczcie, jeśli to pytanie nie ma sensu z waszymi poprzednimi wypowiedziami, ale już powoli mózg mi wysiada

Basia: tak ma dwa maksima; wszystko masz dobrze policzone

Jack:

Reynevan: Dziękuję bardzo za pomoc