Ciągi Ania:

	4n−1
Wiadomo, że suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu an wyraża się wzorem Sn=
	3

Wyznacz wzór na wyraz ogólny tego ciągu. Wykaż, że ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym

Jack: policz S_n−S_n−1=a_n

AS:

	41−1
S1 = a1 =		= 1
	3

	42−1
S2 = a1 + a2 =		= 5 ⇒ a2 = 5 − a1 = 4
	3

	43−1
S3 = a1 + a2 + a3 =		= 21 ⇒ a3 = 21 − a1 − a2 = 16 ...
	3

Szukany ciąg to 1 , 4 , 16 ,... Ponieważ 4/1 = 16/4 =... jest to ciąg geometryczny o ilorazie q = 4 Ogólny wyraz an = a1*qⁿ⁻¹

	1
an = 1*4n−1 =		*4n
	4

Basia: Asie to nie jest dowód, a skąd wiesz, że gdzieś dalej to się nie zepsuje ? A może przy S₉₉₉ albo przy S_99999999 ? Tylko metoda wskazana przez Jacka jest poprawna.

AS: S1 = a1 S2 = a1 + a2 ⇒ a2 = S2 − a1 = S2 − S1 S3 = a1 + a2 + a3 ⇒ a3 = S3 − (a1 + a2) = S3 − S2 itd czyli zgodnie z tym co podał Jack

Basia: i tak będziesz liczył do nieskończoności ? bo jak policzysz do 1000 to się uprę, że przy n=2000 może się coś zepsuć a_n = S_n − S_n−1 =

4n−1		4n−1−1
	−		=
3		3

4n−1−4n−1+1
	=
3

4n−1(4−1)		3*4n−1
	=		= 4n−1
3		3

a_n = 4ⁿ⁻¹

an+1		4n
	=		= 4
an		4n−1

Piotruś: wydaje mi sie ze dobry jest ten wykres, bo w odpowiedziach jest tak samo...