Eketrema lokalne funkcji dwóch zmiennych Piotr student: Zbadać ekstrema funkcji z=f(x,y): f(x,y)=x⁴+y⁴−2x²+4xy−2y² będę próbować liczyć moim sposobem i Triviala

Piotr student: liczę najpierw moim sposobem korzystam ze woru (xⁿ)=nxⁿ⁻¹ f'x=4x³−4x+4y f'y=4y³+4x−4y f'x=0 f'y=0

⎧	4x3−4x+4y=0/:4
⎩	4y3+4x−4y=0/:4

⎧	x3−x+y=0
⎩	y3+x−y=0

⎧	y=x−x3
⎩	(x−x3)3+x−(x−x3)=0

Piotr student: dalej liczę x³−3x²*x³+3x*x⁶−x⁹+x−x+x³=0 2x³−3x⁶+3x⁷−x⁹=0 wyciąg przed nawias x³(−x⁶+3x⁴−3x³+2)=0 x³=0 ∨−x⁶+3x⁴−3x³+2=0/*(−1) x=0 x⁶−3x⁴+3x−2=0 W(1)=1−3+3−2= −1 ≠0

Piotr student: W(−1)=1−3−3−2=−7 ≠0 W(−2)=64+48+24−2=138≠0 W(2)=64−48+24−2=38≠0 y=0 P(0,0)

Gość: łatwiej tak: x³−x+y=0 y³+x−y=0 dodajemy stronami −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− x³+y³=0 i jak widać będzie nieskończenie wiele miejsc zerowych miejscem zerowym jest każda para liczb rzeczywistych postaci (x, −x) np.: (0,0) (1,−1) (−2,2) (¹₂, −¹₂) itd. f"_xx = 12x²−4 f"_xy = 4 f"_yx = 12y²−4 f"_yy = 4 W(x,y) = (12x²−4)*(12y²−4)−16 = 144x²y²−48x²−48y²+16−16 = 144x²y²−48x²−48y² dla każdej pary postaci (x, −x) W(x,−x) = 144x⁴−48x²−48x² = 144x⁴−96x² = 12x²(x²−8) W jest więc dodatni dla każdej pary (x,−x) gdzie x∊(−∞, −2√2)∪(2√2,+∞), jest ujemny dla każdej pary (x,−x) gdzie x∊(−2√2,2√2), jest = 0 dla par (−2√2, 2√2) i (2√2, −2√2) wnioski już chyba sam potrafisz wyciągnąć

Gość: W=0 także dla pary (0,0); zapomniałam dopisać

Piotr student: Dalej liczę f''xx=12x²−4 f''yy=12y ²−4 f''xy=4 f''yx=4 W(x,y)=f''xx(x,y)*f''yy(x,y)−f''xy(x,y)*fyx''(x,y) W(x,y)=(−4)*(−4)−4*4 W(x,y)=16−16=0 może lub nie musi być ekstremum proszę o sprawdzenie zadania

Basia: W każdym punkcie (x, −x) gdzie x∊(−∞, −2√2)∪(2√2,+∞) funkcja ma minimum. W każdym punkcie (x, −x) gdzie x∊(−2√2, 0)∪(0, 2√2) funkcja ma maksimum. Nie potrafimy rozstrzygnąć w punktach (−2√2, 2√2) (0,0) (2√2, −2√2)

Piotr student: f(x,y)=x⁴+y⁴−2x²+4xy−2y² Liczę gradient vf=f'x,f'y)=4x³−4x+4y, 4y³+4x−4y Przyrównuję gradient do wektora zerowego vf=0

⎧	4x3−4x+4y
⎩	4y3+4x−4y

Wyliczam punt który może być ekstremum P(0,0)

Piotr student: i co dalej liczę?

Piotr student: Buduję macierz Hessego funkcji i badam jej określoność dla otrzymanych punktów

	4−4 4 4
Hf=

Piotr student: A₁=4>0

Piotr student: mam problem coś zle robie a nie wiem co bardzo proszę o pomoc

Trivial: Moim sposobem: f(x,y) = x⁴ + y⁴ − 2x² + 4xy − 2y² ( 1. ) f'_x = 4x³ − 4x + 4y f'_y = 4y³ + 4x − 4y

⎧	x3 − x + y = 0
⎩	y3 + x − y = 0

Dodajemy stronami. x³ + y³ = 0 → y = −x. Wstawiamy do dowolnego z równań. x³ − x − x = 0 x(x² − 2) = 0 x = 0 lub x = ±√2 P₁ = (0, 0) P₂ = (√2, −√2) P₃ = (−√2, √2) ( 2. ) f'_xx = 12x² − 4 f'_xy = 4 f'_yy = 12y² − 4

	12x2−4 4 4 12y2−4
Hf =

dla P₁:

	−4 4 4 −4
HP1f =

A₁ = −4 < 0 A₂ = 16 − 16 = 0 Nie możemy określić. dla P₂ i P₃:

	20 4 4 20
HP2f = HP3f =

A₁ = 20 > 0 A₂ = 400 − 16 = 384 > 0 Minimum.

Piotr student: Mam pytanie Trawial x³+y³=0 i nie wiem skąd sie wzieło y=−x proszę o wytłumaczenie

Piotr student: proszę

Trivial: y³ = −x³ /^1/3 y = −x.

Piotr student: to jest z piewszego równania Travial?

Piotr student: y³=−x³ dlaczego dzielisz przez potęge 1/3 będę wdzięczny o wytłumaczenie Travial

Trivial: Nie dzielę przez potęgę, tylko obustronnie pierwiastkuję pierwiastkiem stopnia 3.

Trivial:

	1
(czyli podnoszę do potęgi		− taki zapis).
	3