Ciągi-granice ciągów Ania: Dane są ciągi:

	n+8
an =		dla n<=9
	2

	1
(		)n dla n>=10
	2

	1
bn= (		)n dla n<=9
	2

	n+8
		dla n>=10
	2

oblicz lim a_n i b_n (n→ ∞) Który z tych ciągów jest zbieżny? Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu

Ania: Ktoś spotkał takie ciągi?

Jack: a_n oczywiście zbieżny, a b_n rozbieżny.

Ania: a dlaczego tak?skąd to wiemy?

Jack: bo w a) masz od pewnego miejsca a_n=1/2ⁿ czyli ciąg geometryczny

	n+8		n+8
w b) masz od pewnego miejsca bn=		, lecz limn→∞		=∞, czyli wyrazy
	2		2

nieograniczenie rosną, więc ich sumą jest ∞.

Ania: Czyli ciąg a_n zbiega się do 0, tak?a dlaczego rozpatrujemy tylko drugą część ciągów?

Ania: A jak policzyć sumę a_n?

Jack: 1. tak, a_n zbiega do 0. 2. rozpatrujemy drugą część ciągów ponieważ badamy zachowanie dla bardzo dużych n (przy n→∞) 3. wypisz kilka wyrazów z tego a_n począwszy od 10: ¹₂, (¹₂)², (¹₂)³... Powinnas zauważyć ze masz nieskończony szereg (ciąg) geometryczny, a wzór na jego sumę wyraża

	a1
się wzorem: S=
	1−q