umie ktoś rozwiązać takie zadanie różniczkowe? aaa: x (y² +1) − y dx/dy = 0

Jack:

dx
	y=x(y2+1)
dy

dx		y2+1
	=		dy (x≠0, y≠0)
x		y

i teraz standardowo − rozdzielenie zmiennych

aaa: no spoko, tylko ze w ogole rozniczek nie czaje, mialem tylko jeden wyklad z tego i nie wiem nawet co to jest te rodzielenie zmiennych...

Jack: ok To Ci rozpiszę − wyszukaj tez na wyszukiwarce na tej stronie zadań z równań różcznikowych, pewnie coś Ci pomogą.

dx		y2+1
	=		dy
x		y

	dx		y2+1
∫		=∫		dy
	x		y

	y2
ln |x|=		+ln|y| +C
	2

WIdać, że nie da się uzależnić y od x tzn. y(x), innymi słowy wyznaczyć y, więc spróbujemy x(y), czyli wyznaczyć x... x(y)=Ce^y2/2y

aaa: a pomożesz mi jeszcze w takich ? sorry ze tak męczę, ale jutro mam poprawkę i te zadania mają być i chciałbym wiedzieć jak mniej wiecej je zrobić dy/dx +4y= 2sin3x i y'' + 2y' +10y= x' + 3

Jack: a) dy/dx +4y= 2sin3x − podobnie, możesz tu spróbować rozwiązać, a ja sprawdzę. b) y'' + 2y' +10y= x + 3 (usuwam apostrof znad "x") CORJ: (równanie ch−czne) r²+2r+10=0 (r+1)²+9=0 (r+1−3i)(r+1+3i)=0 y=e^(−1+3i)x ⇒ y₀=e^−x(C₁cos3x+C₂sin3x) CORN (metoda zgadywania): y₁=ax+b y₁'=a y₁''=0 2a+10ax+10b=x+3 ⇒ 10a=1 oraz 2a+10b=3

	1		1   3−   5		14
⇒ a=		oraz b=		=		=0,28
	10		10		50

Stąd y₁=0,1x+0,28 Ostatecznie: y=y₀+y₁=e^−x(C₁cos3x+C₂sin3x)+0,1x+0,28

aaa: dy/dx +4y= 2sin3x dy/dx = 2sin3x −4y dy= dx (2 sin3x −4y) i co dallej?

Jack: no tak, inaczej sobie to wyobrażałem... MUsisz w takim razie rozłożyć na CORJ i CORN. Ty zrób pierwszą część, ja zrobię drugą.

aaa: tylko jak to się robi?

Jack: zapominasz o wyrażeniu z "y", a resztę robisz metodą rozdzielenia zmiennych. Podobnie zrobiłem pierwszy pierwszy przykład ^^ Wyszukaj ewentualnie na wyszukiwarce ... Spróbuj

aaa: czyli co 2sin3x dx=0 ?

Jack: Przepraszam, jakiś rozkojarzony byłem − tak jak wyżej, czyli zapominasz o "x"... dy/dx+4y=0 CORJ: dy/dx=−4y

dy
	=−4dx
y

ln|y|=−4x+C₁ y=Ce^−4x (*) CORN (dla odmiany uzmiennienie stałej): y'=C'e^−4x−4Ce^−4x Wracamy do początku (dy/dx +4y= 2sin3x ): C'e^−4x−4Ce^−4x+4Ce^−4x=2sin3x C'e^−4x=2sin3x C'=e^4xsin3x

	1
C=∫e4xsin3x → C=		e4 x(4 sin3x−3 cos3x)+C2
	25

(trudna całka... lepiej było strzelać rozwiązanie, ale chciałem pokazać druga metodę)

	1
Zatem wracajac do (*) y=[		e4 x(4 sin3x−3 cos3x)+C2 ]e−4x=
	25

	1
=		(4 sin3x−3 cos3x)+C2e−4x
	25

Jack: Przy całce powinno być:

	1
C'=∫e4xsin3x dx→ C=		e4 x(4 sin3x−3 cos3x)+C2
	25