|x^2 + 3x -4| + |3x+6| <11 rówanie kwadratowe z wartością bezwzględną Carooline: |x² + 3x −4| + |3x+6| <11 jak to rozwiązać ? męczę się nad tym już za dlugo ...

TOmek: https://matematykaszkolna.pl/strona/2878.html

Vax: Szybciej można to rozwiązać korzystając z tego, że: |x|+|y| < a ⇔ {|x+y| < a {|x−y| < a Czyli w naszym przypadku |x²+3x−4| + |3x+6| < 11 ⇔ { |x²+6x+2| < 11 { |x²−10| < 11 {−11 < x²+6x+2 < 11 (*) {−11 < x²−10 < 11/+10 (**) (*) x²+6x+2 > −11 ⇒ x ∊ R, x²+6x+2 < 11 ⇒ x ∊ (−3(√2+1) ; 3(√2−1)) (**) −1 < x² < 21 ⇒ −√21 < x < √21 Biorąc część wspólną (*) oraz (**) otrzymujemy x ∊ (−√21 ; 3(√2−1)) Pozdrawiam.

moz: 2(3+2)²=

TOmek: skąd wytrzasnąłes ten wzorek? {|x+y| < a {|x−y| < a

Vax: Można go w prosty sposób udowodnić, mamy pokazać: |x| + |y| < a ⇔ { |x+y| < a { |x−y| < a Na początku udowodnimy w jedną stronę, |x|+|y| < a ⇒ { |x+y| < a { |x−y| < a Istotnie, rozpatrując 4 przypadki mamy: 1*) x<0 , y<0 ⇒ a > |x|+|y| = −x−y = |x+y| 2*) x≥0 , y<0 ⇒ a > |x|+|y| = x−y = |x−y| 3*) x<0 , y≥ 0 ⇒ a> |x|+|y| = −x+y = |x−y| 4*) x≥0 , y≥ 0 ⇒ a> |x|+|y| = x+y = |x+y| Czyli ogólnie |x| + |y| < a ⇒ { |x+y| < a { |x−y| < a Teraz w drugą stronę (oczywiście a>0), { |x+y| < a { |x−y| < a ⇒ |x|+|y| < a Pokazujemy to podobnie, rozpatrujemy 4 przypadki: 1*) x≥0 , y≥0 ⇒ a > |x|+|y| = x+y = |x+y| co jest zgodne z założeniem 2*) x<0 , y≥0 ⇒ a > |x|+|y| = y−x = |x−y| co jest zgodne z założeniem 3*) x≥0 , y<0 ⇒ a > |x|+|y| = x−y = |x−y| (...) 4*) x<0 , y<0 ⇒ a > |x|+|y| = −x−y = |x+y| (...) I tak mamy udowodnioną daną równość w obie strony Pozdrawiam.

rumpek: Mały geniusz

TOmek: wow