równania różniczkowe liniowe jula: mam równanie w postaci y'+p(x)=q(x) muszę znaleźć rozwiązanie y_sn i y_on czy mógłby ktoś dokładnie rozpisać takie zadanie o treści: stosując metodę przewidywania znaleźć jedno z rozwiązań równania y'+y=4xe^−x

Jack: całkę ogólną równania jednorodnego rozwiązujesz w ten sposób: y'+y=0 ⇒ y₀=Ce^−x Całkę ogólną równania niejednorodnego metodą przewidywania tak: a) próbujemy przewidzieć rozwiązanie takiej postaci: y₁=(Ax+B)e^−x Liczysz pochodną: y₁'=Ae^−x+(−Ax−B)e^−x Podstawiasz do wyjściowego równania: Ae^−x+(−Ax−B)e^−x+(Ax+B)e^−x=4xe^−x Ae^−x=4xe^−x sprzeczność b) próbujemy przewidzieć rozwiązanie takiej postaci: y₁=(Ax²+Bx+C)e^−x Liczysz pochodną: y₁'=(2Ax+B)e^−x+(−Ax²+Bx+C)e^−x Podstawiasz do wyjściowego równania: (2Ax+B)e^−x+(−Ax²+Bx+C)e^−x+(Ax²+Bx+C)e^−x=4xe^−x (2Ax+B)e^−x=4xe^−x stąd A=2, B=0, czyli y₁=2x²e^−x Ostatecznie y=y₀+y₁=Ce^−x+2x²e^−x

jula: zawsze tak trzeba robić?

Jack: Pewnie masz na myśli przewidywanie: oczywiście że nie zawsze tak się przewiduje Wszystko zależy od niejednorodności. Ogólnego schematu nie będę pisał bo trzeba zbyt dużo czasu i miejsca... Zajrzyj np. do Krysickiego − tam jest sporo przykładów (albo do czegokolwiek, gdzie piszą o równaniach różniczkowych)

jula: ok dzięki jak na razie to czarna magia

Jack: ale ten przykład zrozumiały?

jula: ten tak i poprzednie dwa które mi wytłumaczyłeś też, część zrobiłam tak jak ty i mi wychodziło ale jeszcze jest parę za które nie wiem jak się zabrać

Jack: to przepisz je − sztuka to wiedzieć co przewidywać i wiedzieć z jakiego rodzaju równaniem ma się do czynienia, reszta jest typowa dla wszystkich. Postaram się jakoś pomóc

jula: y'+y=3sinx+cosx y'+2y=6−4sin2x y'+2y=e^−2x−5sinx y'−y+2xsinx=0 to są równania niejednorodne tak? i należy je zrobić tak jak ten przykład wyżej?

Jack: tak, to są niejednorodne. Wiesz jak przywidywać w nich całkę szczególną r. niejednorodnego?

jula: wzór znam ale dokładnie nie wiem

jula: co i jak powinno się robić po kolei

Jack: to wybierz sobie jakiś przykład i po kolei go rozwiązuj na forum− przejdziemy przez niego wspólnie

jula: weźmy ten pierwszy y'+y=3sinx+cosx y_oj= ce^−∫p(x)dx= ce^−x

jula: trzeba liczyc pochodną z q(x)?

Jack: ok. Co będziesz przywidywała?

Jack: na postawie niejednorodności spróbujmy odgadnąć całkę szczególną

jula: y1=(Asinx+Bsinx)e^−x

jula: y'1= 3cosx−sinx

Jack: "e" nie występuje, wiec odpowiedź bez "e" (y₁=(Asinx+Bsinx)). Ale gdyby coś poszło "nie tak" przygotuj się aby przewidywać (Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx − czyli wielomiany stopnia o jeden większego.

jula: 3acosx−bsinx+3asinx+bcosx=3sinx

Jack: chwila... zapisz: y' + y a potem na drugiej stronie równości niejednorodność

jula: (A+B)cosx+ (A−B)sinx=3sinx

jula: poczekaj a co z ta 3 mam ja pisac czy nie?

Jack: tak, oczywiście. Zauważyłem że jedną rzecz niepoprawnie przekopiowałem od Ciebie... zaraz ją poprawioną wstawię

Jack: y₁=Acox + Bsinx y₁'=−Asinx+Bcosx −Asinx+Bcosx+Acox + Bsinx=3sinx+cosx (B−A)sinx+(B+A)cosx=3sinx+cosx Co teraz zrobisz?

jula: teraz przyrównuje to tak? B−A= 3 B+A=0

Jack: tak

jula: to A=3/2

Jack: moment... B−A= 3 B+A=1 Widzisz czemu?

jula: nie

Jack: współczynnik przy cosx z lewej strony to B+A a po prawej to 1. Skoro mamy równość to współczynniki muszą się sobie równać.

jula: no tak to wtedy A będzie −1

jula: i wynik y_SN=−cosx+2sinx

jula: wyszło identycznie jak mam w odpowiedzi

jula: dziękuje Ci bardzo, teraz juz rozumiem

Jack: ciesze się − nie było mnie przez moment

jula: przepraszam ze tak Cie męczę ale jeszcze jedno pytanie kiedy są jednorodne a kiedy nie?

Jack: gdy masz człon zależny od x, to masz równanie niejednorodne

jula: aha to już teraz wiem wszystko dziękuje

Jack: