PROblem TOmek: Funkcja kwadratowa z parametrem − problem. a) Wyznacz te wartosci parametru m .....(bla.bla) ma dwa rozwiązania Δ > 0 b)Wyznacz te wartosci parametru m .....(bla.bla) ma dwa pierwiastki. Δ ≥ 0 dobrze myśle

Jack: a) i b) Δ≥0. Ostry znak większości/mniejszości dajesz gdy masz powiedziane, że są dwa różne pierwiastki (miejsca zerowe, rozwiązania itp).

TOmek: Wyznacz te wartosci parametru m dla których równanie x²+mx+9=0 ma dwa rozwiązania mniejsze od −1. −−−−−−−−−−−− I wg Twojego postu powinno być Δ≥0 a musi być Δ>0 by wyszedł dobry wynik (6,10)

Jack: zauważ, że dla m=6 mamy: x²+6x+9=0 ⇔ (x+3)²=0. Jest pierwiastek x₀=−3, o którym się niekiedy mówi iż jest to pierwiastek podwójny (x₁=x₂=^−b_2a). Wszystko się zgadza z poleceniem... Mamy dwa pierwiastki mniejsze od −1.

TOmek: no tak rozumiem Cię Jack, lecz w odpowiedziach mam nawias otwarty m∊(6,10) więc, widocznie musi byc Δ>0 moim zdaniem roznica jest miedzy dwa pierwiastki, ⇒ Δ ≥ 0 a dwa rozwiązania ⇒ Δ>0 taki jest moj wniosek, a Ty w tym dluzej siedzisz i t obardziej ogarniasz. Myśle nadal nad tym zadaniem i nie wiem juz czy ma byc '≥', czy '>' hmm

TOmek: wystarczy ,ze by dali "dwa rózne rozwiązania" i by było wszystko jasne. Zadanie to nie jest sprecyzowane, racja Jack?

TOmek: Godzio, co myslisz?

Jack: nigdy nie zwracałem uwagi na "pierwiastki" a "rozwiązania"... Dla to zawsze było to samo Nie pamiętam, zeby ktoś gdzieś to rozróżniał... Jeśli "pierwiastek" to to samo co "rozwiązanie" (a raczej tak jest), to powinien być nawias domknięty., a przykład który podałem powinien być w odpowiedzi uwzględniony.

Jack: wg mnie jednak jest sprecyzowane − po prostu "rozwiązanie" utożsamiam z "pierwiastkiem".

TOmek: zadanie z kiełbasy : ]

Jack: gdyby było napisane "dwa różne rozwiązania", to masz rację − nie było by wątpliwości. Ale wówczas były to pleonazm − równanie kwadratowe mające dwa rozwiązania, zawsze miało by dwa RÓŻNE rozwiązania (gdybyśmy rozumowali zgodnie z odpowiedzią).

Jack: która strona?

Godzio: Błąd w odpowiedzi pewnie Powinno być Δ ≥ 0

TOmek: ciekawe, czy ktoś by dał radę to wytłumczyć. Tez gdy zacząłem te zadanie dałem Δ≥0, lecz odpowiedź wskazywała na Δ>0 no i teraz pytanie "Dlaczego"

TOmek: str. 52 "matematyka matura 2009, matura 2010" czesc 1

Jack: błąd − oto moja odpowiedź, podzielam zdanie Godzia

TOmek: ok

TOmek: Po cięzkich naradach pod przewodnictwem mgr dr hab. prof. nauk mat. do spraw funkcji kwadratowej z parametrem, oznaczony złoty orderem "parametr" TOmka, doszli do wniosku ,ze Kiebłasa, na kacu robił owe zadanie

Jack:

rumpek: A ja uważam, że jednak powinno być Δ>0. Fakt, że polecenie trochę niesprecyzowane, ale myślę że liczyli na domyślność Przytoczę wypowiedź Jakuba: "To jest częsty problem w tych zadaniach. Moim zdaniem nie można jednak mówić o dwóch takich samych pierwiastkach w funkcji kwadratowej. Co najwyżej o jednym pierwiastku podwójnej krotności. Gdy Δ=0, funkcja kwadratowa ma jeden pierwiastek (miejsce zerowe). Tym miejscem jest punkt styczności wierzchołka paraboli z osią Ox. Patrząc na ten punkt widzę jeden punkt, a nie dwa takie same ." Poza tym są z tym problemy bo faktycznie w szkole jak nie ma określenia "dwa różne" to nauczyciel każe dać Δ≥0 bo uważa podobnie jak Jack i Godzio. Jednak spora część jest tego zdania co Jakub i od niedawna ja Przykładowo na maturze próbnej podobny problem był, zadanie: "Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których suma odwrotności pierwiastków równania (2m +1)x² − (m + 3)x + 2m +1 = 0 jest większa od 1." W odpowiedziach było Δ≥0, jednakże ja uważam (i nie tylko ja), że powinno być Δ>0. Dla

	1		1		1
założenia Δ≥0 otrzymamy wynik: m∊(−		,		>, podstawiając		otrzymamy
	2		3		3

(x − 1)² = 0 (czyli Δ=0) no i teraz do kluczowego pytania, czy ta suma odwrotności "pierwiastków" tego równania jest większa od 1? Według mnie nie.

TOmek: obysmy rumpek za rok nie mieli takiego dylematu jak znowu znajdzie sie parametr : ]

Jack: myślę, że to kwestia umowna żeby traktować pieriwastek podwójny jako dwa pierwiastki równe sobie. Dla wygody wiele rzeczy się upraszcza w matematyce (np. Stopień wwielomianu zerowego W(x)=0 nie jest równy 0, a +∞. A to dlatego, aby nie trzeba było czynić wyjątków dla prawa o iloczynie wielomianów stopnia n, m który ma być stopnia n+m). Podobnie postać iloczynową trzeba byłoby poddawać modyfikacjom: f(x)=a(x−x₁)(x−x₂) przy czym x₁≠x₂, co wydaje (mi) się sztuczne (bo niby czemu mają być różne od siebie)

rumpek: CKE pomyśli o tym i napisze "dwa różne" o ile będzie zadanie z parametrem Już dwa lata z rzędu było więc wątpliwe aby dali, chociaż może, żeby naciągnąć procenty Na pewno będą wielomiany i wartości bezwzględna i może trygonometria . Ale to niestety tylko przypuszczenia. Chociaż fajnie aby poziom był wymieszany tj.: trochę maturki z 2010 i 2011

TOmek: czyli CKE w takich przypadkach daje Δ≥0, musze zapamietac

rumpek: I po co schematycznie się uczyć ? (odnośnie twego zadania i tego co ja dałem to CKE dałoby Δ≥0)