funkcje zespolone zmiennej zespolonej matma: Witam. Czy jest tutaj na forum osoba, która jest mi w stanie pomóc z zadaniami z działu: funkcje zespolone zmiennej zespolonej (całka funkcji zespolonej, tw. Cauchy−Riemanna, holomorficzność funkcji) itd.

Jack: dajesz, spróbujemy

matma: Pierwsze lepsze zadanie: Wykazać, że: e^z=1 ⇔z=2kπj, k∊ℤ

Jack: (→) Niech z=x+jy x,y∊ℛ e^z=1⇒ e^x*e^iy=e^x(cosy+jsiny)=e^xcosy+je^xsiny=1 Zatem e^xcosy=1 oraz e^xsiny=0. Rozwiązaniem tego jest y=2kπ, x=0. Czyli z=2kπj. (z drugiego równania wynika, ze y=nπ lecz z pierwszego, że cosy>0 więc trzeba brać co drugie n, czyli n=2k. Wówczas x=0.) (←) Zał. że z=2kπj. Wówczas e^z=e^2kπj=(cos2kπ+jsin2kπ)=1 (ponieważ cos2kπ=1 oraz sin2kπ=0) □

matma: Super, dzięki. Udało mi się znaleść podobne zadanie i zrobiłem analogicznie tak jak w książce. Był wykorzystany fakt, że: Logz=ln|z|+jargz+2kπj. Po wyznaczeniu wszystkiego co potrzeba z=2kπj Zrobiłem już parę zadań sam ale myślę nad tym: Wykazać, że: cosiz=coshz

Jack:

	eiz+e−iz
wiesz pewnie jak się rozpisuje cos z (z tw. Eulera): cos z=		.
	2

	ex+e−x
Natomiast cosh x=		. Widać, więc że coshz=cos z. Nie wiem gdzie tu
	2

trudność... Może w zastosowaniu tw. Eulera? Ale to już zostawiam dla Ciebie

matma: Dzięki za kolejne wyjaśnienie. Wcześniej tak zrobiłem ale uznałem, że to nie jest dowód To może jeszcze coś takiego: Wykazać, że: sinz=0⇔z=kπ

Jack:

	eiz−e−iz
(→) podobnie korzystamy z tw. Eulera: sin z=
	2i

eiz−e−iz
	=0
2i

e^iz−e^−iz=0 e^iz−e^−iz=cos z+isinz − (cosz−isinz)=2isinz=0 sinz=0 z=kπ, k∊ℤ (←) proste podstawienie i własności sin kπ.

matma: Wykaż, że: sinhz=0 ⇔ z=kπj z tw. Eulera:

	ez−e−z
sinhz=
	2

	ez−e−z
0=
	2

0=e^z−e^−z 0=e^xcosy+e^xjsiny−(e^xcosy−e^xjsiny) 0=2e^xjsiny 0=jsiny Jack Dobrze? Co dalej?

Jack: Dobrze. Teraz podziel przez j obie strony i wyznacz y∊R dla którego siny=0

matma: siny=0 ⇔ y=kπ Imz = kπj Takie coś? Za chwilę wrzucę zadanie na sprawdzenie czy f. jest holomorficzna częściowo rozwiązane i zapytam co dalej

Jack: no to wykazałaś w jedną stronę. Teraz podstaw z=kπj do sinh z i w prosty sposób otrzymasz 0. Teraz takie równanie: lm z = kπj ?

matma: Zbadać istnienie pochodnej funkcji f(z) oraz obliczyć f'(z₀). Czy funkcja jest holomorficzna w p. z₀ ? f(z)=2z−z² Niech z=x+jy f(z)=2(x+jy)−(x+jy)² f(z)=2x+2jy−x²−2xjy−y² Rez=2x−x²−y² Imz=2y−2xy Teraz muszę policzyć pochodne cząstkowe z tw. Cauchy−Riemanna tak?

matma: Rez oznacza, że biorę część rzeczywistą z funkcji f(z) a Imz, że biorę część urojoną.

matma: Błąd: f(z)= 2x+2jy−x²−2xjy+y² Rez=2x−x²+y² Imz=2y−2xy

Jack: dokładnie tak. Proponuję takie oznaczenia: Re z=u(x,y), Im z=v(x,y)

	ϱu		ϱv		ϱu		ϱu
Musisz sprawdzić, czy		=		oraz		=−
	ϱx		ϱy		ϱy		ϱx

Jack: muszę uciekać − owocnych dociekań

matma: Ok mam to

ϱu
	=2−2x
ϱx

ϱv
	=2−2x
ϱy

Są równe.

ϱu
	=−2y
ϱy

	ϱu
−		=−2y
	ϱx

Są równe.

matma: Ok dzięki wielkie za pomoc