równanie różniczkowe ola: na koło (x³ + y³)dx + 3xy²dy = 0

Jack:

ϱP
	=3y2
ϱy

ϱQ
	=3y2 Zatem równanie jest zupełne. Szukamy więc funkcji F(x,y) takiej że jest
ϱx

pochodna cząstkowa po x jest równa P(x,y) oraz pochodna cząstkowa po y jest równa Q(x,y)

	ϱF(x,y)		x4
Teraz skoro		=P(x,y)=x3+y3, to F= ∫(x3+y3)dx=		+xy3+ φ(y) (*)
	ϱx		4

Zamiast stałej C mamy w całce funkcję zależną od y, φ(y).

	ϱF		ϱF
Teraz		=Q(x,y)=xy2 oraz z (*) mamy, że		=3xy2+φ'(y)
	ϱy		ϱy

Zatem porównujemy: xy²=3xy²+φ'(y) i wyznaczamy φ'(y):

	y3
φ'(y)=−3xy2 ⇒ φ(y)=∫−3xy2 dy=−3x∫y2dy=−3x(		+C)=−xy3+3Cx
	3

	x4
Stąd F(x,y)=		+xy3−xy3+3Cx
	4

(o ile po drodze nie ma błędów rachunkowych...)

Jack: Porównywanie mi troszkę nie wyszło...

ϱF		ϱF
	=Q(x,y)=3xy2 oraz z (*) mamy, że		=3xy2+φ'(y)
ϱy		ϱy

I teraz: 3xy²=3xy²+φ'(y) ⇒ φ(y)=C

	x4
Zatem (co się zgadza, gdy się przeliczy): F(x,y)=		+xy3+C
	4