Udowodnij balbina: Udownodnij nierówność xlnx>x−1 dla x>1

uu: liceum czy wyższy pułap?

balbina: niestety wyższy

Jack:

	1
podziel przez x, dostaniesz lnx>1−		. Zauważ, że dla x>1 prawa strona jest dodatnia, a
	x

lewa ujemna.

Godzio: prawa ujemna a lewa dodatnia

Vax: ? Dzieląc przez x otrzymujemy równoważną nierówność

	1
1 − lnx <
	x

Zauważmy, że dla x=1 otrzymujemy równość, teraz zauważmy, że

	1
(1−lnx)' = −
	x

	1		1
(		)' = −
	x		x2

	1		1
Ale dla x>1 zachodzi −		< −		skąd
	x		x2

	1
(1−lnx)' < (		)'
	x

Skąd wynika, że funkcja po prawej stronie maleje wolniej niż po lewej co z wnioskiem o równości dla x=1 implikuje tezę. Pozdrawiam.

Jack: dzięki, Godziu

Vax: Tylko, że dla x>1 obie strony są dodatnie..

Jack: ooo... nie zauważyłem... Dziś mój dzien upływa pod znakiem różniczek i całek... Skoro takie byki robię, to chyba daruję sobie "pomaganie" innym