wielomiany Paula: 1. Liczby 3 i -1 są pierwiastkami wielomianu W(x)=2x³+ax²+bx+30 a) Wyznacz wartości współczynników a i b. b) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu. 2. Dane są wielomiany: Q (x)=x⁴-8x³+22x²-24x+9 oraz P(x)=2x³-9x²+7x+6. Oblicz wartości m i n, dla których wielomian W(x)=x⁴+(m-4)x³-(2n+6)x²-38x-3 równy jest wielomianowi Q(x)-2P(x) 3. Wielomian W(x)=-2x⁴+5x³+9X²-15X-9 jest podzielny przez dwumian (2x+1). Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

Paula: Czy mozecie mi pomóc

Paula: Bardzo prosze o pomoc, ja naprawde tego nie rozumiem. Czy możecie pomóc

Szymon: skoro nie ma chętnych do pomocy to ja się skuszę zadanie 1 a) W(3)=54+9a+3b+30=0 W(-1)=-2+a-b+30=0 z tego robimy układ równań: 9a+3b+84=0 /:3 a-b+28=0 3a+b+28=0 a-b+28=0 + ---------------------- 4a=-56 a=-14 b=14 wielomian ma postać W(x)=2x³ -14x² +14x +30 po skróceniu przez 2 mamy W(x)= x³ -7x² +7x +15 b) najszybciej będzie zastosować Hornera: (wiemy że 3 pierwiastkiem wielomianu) 1 -7 7 15 3 1 -4 -5 0 W(x)= (x-3)( x² - 4x -5) x² - 4x - 5 Δ= 16+20=36 √Δ = 6 x₁ = (4-6)/2= -1 x₂ = (4+6)/2= 5 Po rozkładzie wielomian ma postać W(x)= (x-3)(x+1)(X-5) trzecim pierwiastkiem jest liczba 5

Szymon: zadanie 2 najpierw musimy policzyć ile to jest Q(x) - 2P(x) Q(x)= x⁴-8x³+22x²-24x+9 P(x)= 2x³-9x²+7x+6 2P(x)= 4x³ - 18x² +14x +12 Q(x) - 2P(x)= x⁴ - 8x³ +22x² - 24x +9 - 4x³ +18x² - 14x -12 = x⁴ -12x³ +40x² -38x -3 W(x)=x⁴+(m-4)x³-(2n+6)x²-38x-3 wielomiany są sobie równe kiedy ich współczynniki są równe czyli: (m-4) = -12 m=-16 -2n - 6 = 40 2n=-46 n = -18 Odp. m= -16 , n= -18

Bogdan: Uwaga do Szymona. Wielomian W(x) po podzieleniu przez 2 jest równy (1/2)*W(x), nie jest jednak dalej wielomianem W(x). Wielomiany: W(x) = 2x³ -14x² + 14x + 30 V(x) = x³ - 7x² + 7x + 15 nie są równe.

Szymon: zadanie 3. to jest typowe zadanie na dzielenie wielomianu, zajrzyj sobie do podręcznika i zobacz jak się dzieli wielomian przez dwumian. można to rozwiązać innym sposobem ale mi się już niestety nie chce tego tu wklepywać. z pewnością sama dasz sobie z tym rade.

Paula: Bogdan czyli coś jest źle w rozwiązniu Szymona pomóż bo ja sie wogóle nie orientuje w tych wielomianach. z góry dzięki

Bogdan: ad 1. Można wyznaczyć wartości współczynników a, b oraz warość trzeciego pierwiastka x₃ w jednym kroku. Zapisujemy wielomian W(x) w postaci iloczynowej: W(x) = 2(x - 3)(x + 1)(x - x₃) Wykonujemy mnożenie i porządkujemy wynik wg potęg zmiennej x: W(x) = 2x³ + (-4 - 2x₃)x² + (-6 + 4x₃) + 6x₃ Porównujemy współczynniki przy jednakowych potęgach x: przy x³: 2 = 2 przy x²: a = -4 - 2x₃ przy x¹: b = -6 + 4x₃ przy x⁰: 30 = 6x₃ stąd x₃ = 5 oraz a = -4 - 2*5 = -14, b = -6 + 4*5 = 14 Odp.: W(x) = 2x³ - 14x² + 14x + 30, trzeci pierwiastek x₃ = 5

Paula: Bogdan serdeczne dzieki za 1 zadanie, ale czy mógłbyś jeszcze spojrzec na 2 i 3. ja nie wiem jak sie do tego zabrac a muszę to już na jutro mieć

Szymon: Dobrze Bogdan, że zauważyłeś. Paula, zadania jest rozwiązane poprawnie po prostu wielomian W(x) skrócony przez 2 nie może nadal być wielomianem W(x) ale może być np. V(x) tak jak napisał Bogdan. To jest kwestia nazwy, jednakże jest to istotne aby zadanie było poprawnie rozwiązane, także przepisz sobie V(x) a nie W(x). Oczywiście wyniki są poprawne.

Bogdan: Paulo: W rozwiązaniu Szymona jest wszystko dobrze za wyjątkiem ostatecznej postaci wielomianu W(x). Wielomian W(x) wyraża się wzorem W(x) = 2x³ - 14x² + 14x + 30. Taką postać podał również Szymon, ale potem błędnie podał inną postać tego wielomianu stwierdzając, że W(x)= x³ -7x² +7x +15, co nie jest prawdą. Poprawnie byłoby ewentualnie: W(x)= 2(x³ -7x² +7x +15), czyli wyłączając 2 przed nawias, a nie dzieląc W(x) przez 2, bo dzielenie wielomianu daje w wyniku nowy i inny wielomian

Paula: Wielkie dzieki za wytłaumaczenie, już troche rozumiem, mam jeszcze pytanko czy odpowiedź b do 1 zadania napisana przez Szymona jest poprawna

Bogdan: ad 2. Q(x)-2P(x) = x⁴ - 12x³ + 40x² - 38x - 3 (tak, jak podał Szymon) W(x)=x⁴ + (m - 4)x³ + (-2n - 6)x² - 38x - 3 Porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach: przy x³: m - 4 = -12 stąd m = -8 przy x²: -2n - 6 = 40 stąd n = -23 Odp.: m = -8, n = -23

Bogdan: Paulo, podaj swoje rozwiązanie zadania 3, sprawdzę. Podziel, tak jak sugerował Ci Szymon, wielomian W(x) przez (2x + 1), potem rozłóż otrzymany w wyniku dzielenia wielomian na czynniki metodą grupowania i wyłączania przed nawias.

Paula: Wynik wyszedł mi -x³+3x²+3x-9 dobrze ale i tak nie weim jak dalej pogrupowac i wyłączyć przed nawias

Bogdan: Dobrze. -x³ + 3x² + 3x - 9 = -x²(x - 3) + 3(x - 3) = czy potrafisz dalej poprowadzić rozwiązanie?

Paula: czy to będzie (x-3)(-x²+3) pierwiastki x=3 i x=√3≈1,71

Paula: Bogdan czy dobrze

Bogdan: Nie do końca dobrze. Powinno być tak: -x²(x - 3) + 3(x - 3) = -(x - 3)(x² - 3) = -(x - 3)(x - √3)(x + √3) x₁ = 3, x₂ = √3, x₃ = -√3. Nie podaje sie przybliżonych wartości, jeśli nie ma takiego wyraźnego polecenia w zadaniu.

Paula:

Paula: Wielkie dzięki Bogdan za pomoc

Bogdan: W(x) = -(x - 3)(x - √3)(x + √3)(2x + 1) Ostateczna postać wielomianu: W(x) = -2(x - 3)(x - √3)(x + √3)(x + 1/2) Jest więc jeszcze x₄ = - 1/2

Justysia: Justysia: Witajcie! Pomóżcie mi proszę bo mam pracę od której wszystko zależy a nic nie czaję a zadania są z wielomianów: 1. Rozłóż wielomiany na czynniki: a. −5x⁴+3x³+14x² b. x³+x²−3x−6 c. −2x³+x²+18x−9 d. x⁵−6x⁴−40x³ 2. Rozwiąż równania: a. x³−2x²+2x−4=0 b. −4x³−4x²+3x=0 3. Znajdz współczynniki m i n wielomianu W(x)=x³+mx²+nx+12 wiedząc, że jego pierwiastkami są liczby −3 i 4. Jeśli ktoś mi to rozwiąże będę na serio wdzięczna...

TOmek : a) wyciągnij x² przed nawias i masz równanie kwadratowe b)chyba źle przepisałas, bo jak dobrze to musisz z tw. o pier. wym. sprawdzić czy ma pierwiastek c) −x²(2x−1)+9(2x−1)=(−x²+9)(2x−1)=(2x−1)(3−x)(3+x) d)x³ wyciągi przed nawias i masz równanie kwadratowe.

TOmek : 2.a) x²(x−2)+2(x−2)=(x−2)(x²+2) pamiętaj ,ze x² +2 nie ma pierw. b)wyciągnij x przed nawias i równanie kwadratowe. 3. podstawiasz pierw to tego wielomianu (−3)³+m(−3)²+n(−3)+12=0 4³+m4²+n4+12=0 układ równań

TOmek : b)wyciągnij x przed nawias i masz równanie kwadratowe

TOmek :

mm: W(x)3x3−3x+1V(x)2x2−4

Paucia: Wyznacz współczynniki a i b dla których wielomiany P(x)= (x² − 2)² i Q(x)= x⁴ + (a+5) +bx² +4 są równe.

Paucia: Dane są wielomiany W(x)= −8+4 , P(x)= 5x² + 2x + 4 oraz Q(x)= x²−x+4. Wyznacz wielomian 1/4W(x)(P(x)−Q(x))

klaudia: 8x³−1

Kostek: (2x−1)(4x²+2x+1)

klaudia: ale mozesz to rozpisac jak to liczyles?

5-latek: Wzor skroconego mnozenia a³−b³= zobacz sobie gdzie a=2x bo (2x)³=8x³ i b=1 bo 1³=1 i teraz rozpisz sobie sama

klaudia: dzieki

Fajna 20: Dany jest wielomian W(x)=2x³+(a+2)x²−3x+b wiadomo że W(1)=8 i W(−2)=14 wyznacz pierwiastki wielomianu G(x)=W(x)−2x³+15

Fajna 20: Prosze o pomoc

Fajna 20: Prosze o pomoc

5-latek: Naprawde jestes fajna i masz 20 lat? To w takim razie Ja mam 20 lat , Ty masz 20 lat ,przed nami siodme niebo a odpowiesz na pytanie to pomoge dalej

5-latek: No i jak fajna 20

Fajna 20: A nie możesz poprostu mi pomóc ?

5-latek: Ale nie odpowiedzialas na moje pytanie czy jestes fajna i masz 20 lat ?

olo: to chyba chodzi o to, że ona myśli, że jest fajna już 20 raz

Fajna 20: Tak. Pomożesz mi z tym zadaniem czy nie?

5-latek: NO to skoro jestes fajna to najpierw wyznaczymy postac wielomianu W(x) 2*(1)³+(a+2)*1²−3*(1)³+b=8 2*(−2)³+(a+2)*(−2)²−3*(−2)+b=14 wyznacz z tego wspolczynniki a i b i napisz jak jest postac wielomianu W(x)

Fajna 20: