macierze - odwrotne, wyznaczniki, trójkątne, eliminacja, równania itd Bjornolf: Witam, Mam zamiar dzisiaj ruszyć temat macierzy, raczej podstawy, lecz myślę, że przyda się nie tylko mnie, ale i osobą, które tutaj zajrzą. p.s. jest dostępny symbol na macierz(chodzi o tą klamrę)? nie mogę się jej doszukać? zad.1 macierz odwrotna − 2x2, 3x3 nie robię, bo jest analogiczna 4 1 A = 2 3 a) detA = 4*3−2*1=10 b) 4 2 A^T=1 3 C) c₁₁ c₁₂ (A^T)^D = c₂₁ c₂₂ c₁₁ = (−1)¹⁺¹*(pozostałość po skreśleniu 1 kolumny i 1 wiersza lub minor[dla macierzy o n≥3](macierz pomniejszona o 1 kolumne i 1 wiersz) = (−1)¹⁺¹*3 = 3 c₁₂ = itd więc: 3 −2 (A^T)^D = −2 4

	podpunkt c)
d) A−1 =
	podpunkt a)

³₁₀ ⁻¹₅ A⁻¹ = ⁻¹₅ ²₅ zgadza się?

Bjornolf: zad2. równanie macierzowe 2 5 4 −6 1 3 * X = 2 1 a b macierz X mozemy zapisac jako c d wiec 2 5 a b 4 −6 1 3 * c d = 2 1 dalej, mnożymy macierz A*C wynik: 2a+5c 2b+5d 4 −6 a+3c b+3d = 2 1 tak? powstaje układ równań: 2a+5c = 4 2b+5d = −6 a+3c= 2 b+3d = 1 a=2−3c i podstawiamy do pierwszego równania co daje 2(2−3c)+5c = 4 więc c=0, więc a = 2 − 3*0 = 2 b = 1−3d, a to daje z 2gim równaniem 2(1−3d)+5d = −6, więc d=8. no i b = 23 czyli macierz X wygląda tak 2 23 0 8 dobrze?

bjornolf: zad 3. wyznacz macierz X A*X*B=C, a macierze niech będą 2x2 także mam za X podstawić macierz abcd i wymnożyć po kolei?

bjornolf: zad 4 wyznacz macierz X X*A=B macierz A = 3x3 ,a macierz B = 2x3 istnieje macierz X? ma ona 2x2? czy może miec 2x4?

Magda: nie istnieje macierzX bo liczba kolumn macierz A nie zgadza sie z liczba wierszy macierzy B

Magda: A B wiersze x kolumny * wiersze x kolumny żeby mnozyć macierze to liczba kolumn pierwszej macierzy musi być równa liczba wierszy drugiej macierzy Wymiary macierzy wynikowej to liczba wierszy macierzy A x liczba kolumn maicrezy B rozumiesz ; )?

Magda: oj sory pomyłka chyba xle przeczytałam i się zapędziłam pzeczytałam że A*B=X

Magda: czyli do zad 4 wydaje mi się, że macierz X będzie mieć wymiary 2x3 bo X * A = B 2x3 * 3x3 = 2x3 żeby wymnożyć to l.kolumn m. X i l.wierszy macierzy A się zgadzają, a tak jak wyżej pisałam, że Wymiary macierzy wynikowej to liczba wierszy macierzy X x liczba kolumn maicrezy A czyli 2x3

bjornolf: ok, dziękuję

Magda: też musze powtórzyć macierze, ato co zacząłeś rozwiązywać, to dopiero początek czyli: wyznacznik macierzy mnożenie macierzy odwracanie macierzy równania macierzowe ( ale chyba zupełnie coś innego niż ty napisałeś, bo to jest na samych literkach− przynajmniej tak robilismy tego nie rozwiazywalismy potem bo za dużo czasu : D) potem będzie rząd macierzy, układy równań z parametrem i bez parametru, metoda Gaussa Jordana, wzory Cramera i to chyba wszystko co pamietam : D

Magda: żeby łatwo sprawdzić sobie wynik macierzy, możesz to zrobić w excelu, tam jest funkcja wyznacznik macierzy, MACIERZ.ODW i MACIERZ.ILOCZYN ; ) co do zad 3 to macierz X także 2x2 bo z tego co pamietam to najpierw mnożyliśmy np A * X potem to co wyjdzie *B i otrzymujemy macierz C

bjornolf: zad5. wyznacz rząd macierzy: tego nie miałem, ale jest wymagane. 1 2 −1 −2 macierz A =3 1 2 1 5 5 0 −3 macierz 3x4, czyli z tego co w internecie wyczytałem, teoretyczna rzędowość to 3. sprawdzenie polega na obliczeniu wyznacznika dla minora 3x3 poprzez skreslenie 1 kolumny, tak? 1 2 −1 |1 2 więc detA₁ 3 1 2 |3 1= 5 −5 = 0 5 5 0 |5 5 1 2 −2 detA₂ 3 1 1 = −53−13=−66 5 5 −3 i koniec zadania? rzędowość jest 3x3?

Magda: my nie używalismy określenia rzędowość tylko po prostu rząd macierzy. w macierzy 3x4 maksymalny rząd to 3. ale to nie musi być 3, może być mniej. kurcze muy to zupełnie inaczej robilismy poprzez wyzerowanie sobie kolumn bądź wierszy( czyli np dodaje jakis wiersz do innego, albo np odejmuje kolumnę od innej kolumny pomnozonej przez stałą) i "szukanie" w tej macierzy macierzy jednostkowej po tych wyzerowaniach czyli np wynik mógłby wyglądać tak: 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 tutaj rząd wynosi 3 bo 3 wektory są liniowo niezalezne kurcze za duzo tłumaczenia a ja raczej średnio to robie : D macierze mam zamiar powatarzać chyba w niedzielę : D

bjornolf: mam zestaw zadań, które będą wymagane na kolokwium. Jest tego 3 strony, więc spokojnie zamierzam je przerobić na forum po 1 przykładzie na forum(ot takie macierzowe podstawy w jednym temacie)

Magda: no ja mam w środę poprawę kolokwium : D macierze na kole miałam w styczniu, co do tej macierzy to rząd wynosi 2

bjornolf: eliminacje(bo tak się chyba to nazywa) też miałem, ale znalazłem i taki sposób macierz jednostkowa to jak rozumiem tzw. 1, prawda? jutro muszę wcześnie wstać, więc na dziś koniec. przede mną jeszcze: −układy równań 3x3 do 5x5 −układy z parametrami(1 rozwiązanie, ∞wiele, no i brak) −Warunek Croneckera−Cap. (tutaj niedokładnie widać bo to ksero rękopisu) −dobranie b_n tak by układ 3x4 posiadał rozwiązanie −dla jakich wartości parametru k∊R układ 3x3 ma niezerowe rozwiązanie −macierze trójkątne itd(czyli wyzerowanie schodkowe) −Laplace i może jeszcze coś

Magda: 1 2 1 −2 teraz szukam wiersza bądź kolumny gdzie mam "najłatwiejsze liczby" żeby po A=3 1 2 1 dodawaniu do siebie wierszy kolumn itp było prościej mi liczyć czyli tu wybieram k3 5 5 0 −3 i dokonuje operacji elementarnych na wierszach i kolumnach 1 2 −1 −2 w1*(−1) A= 3 1 2 1 w2 +2w1 5 5 0 −3 w3=w3 i otrzymuję −1 −2 1 2 A= 5 5 0 −3 5 5 0 −3 wiersze drugi i trzeci sa liniowo zalezne, tzn np po dadniu jednego do drugiego otrzymamy wektor zerowy, czyli do w3 dodaję w2 i otrzymuję −1 −2 1 2 A= 5 5 0 −3 0 0 0 0 wektór zerowy zmniejsza rząd o 1, czyli nie możemy już otrzymać rzędu 3 tylko maksymalnie 2

bjornolf: zad 6 na koniec 0 3 ⁻¹ 1 2 5 −2 *X^T=3 4

bjornolf: o! sprytne

Magda: teraz mnoże w2 *1/5 i otrzymuje −1 −2 1 2 w1+w2 A= 1 1 0 −3/5 w2=w2 0 −1 1 1 2/5 0 0 0 0 w3=w3 i otrzymuje A=1 1 0 −3/5 przestawiam kolumny i mam 0 0 0 0 1 0 −1 1 2/5 A= 0 1 1 −3/5 0 0 0 0 jak widać mamy macierz jednostkową o wymiarach 2x2 1 0 czyli rząd wynosi 2 0 1

bjornolf: do przestawiania kolumna potrzebna jest jakaś analogia, czy można to robić dowolnie? tego nie pamiętam

Magda: kurcze co do zad 6 to nie kojarze żebyśmy mieli coś takiego : D nie wyznaczaliśmy macierzy X tylko my mieliśmy równania macierzowe ale tylko na literkach np A⁻¹ *X^T= B i te równania były pokręcone czasem, były az nawiasy klamrowe : D i po prostu do wyniku podstawialismy majac na poczatku zadania podane macierze A i B

bjornolf: no to np A⁻¹*X^T=B

Magda: co do przestawiania kolumn− chodzi o sam koniec tak? to musisz to tak przestawić żeby nie pozmieniac tych liczb w kolumnach, no przestawiasz same kolumny nie wiersze, można to robić dowolnie : D chyba że odrazu widzisz jaki jest rząd, ja np nie musialabym przestawiwac sobie tego na koncu bo widze od razu ze jest macierz jednostkowa 2x2 i rąd wynosi 2

bjornolf: u mnie problem polega na tym, że na ćwiczeniach mamy macierze, a wykładowca kończy ekstrema f. wielu zmiennych. Muszę uczyć się we własnym zakresie, więc niektóre zadania(jak te) przerobione były tylko na wykładzie i to w postaci A*X=B "bo reszte poćwiczycie sobie na wykładzie"

Magda: mam inny przykład od siebie z zeszytu : D AXB= C i rozwiązuje, masz te twierdzenia na równania macierzowe?

bjornolf: *ćwiczeniach

bjornolf: mam

Magda: AXB=C to mnoze obustronnie ale tylko lewostronnie (bo mnozenie w macierzach nie jest przemienne * A⁻¹ bo A * A⁻¹ daje I czyli macierz jednostkowa ktora pozniej sie pomija bo po wymnozeniu przez amcierz jednostkowa wychodzi to samo czyli AXB=C / *A⁻¹ (mnoze lewostronnie) A⁻¹ XB= A⁻¹ * C XB= A⁻¹ *C/ *B⁻¹ (mnoże teraz ale prawostronnie raz B⁻¹) xB*B⁻¹ = A⁻¹*C*B⁻¹ X= A⁻¹*C*B⁻¹ i teraz podstawiasz te macierze co są podane wczesniej w zadaniu i liczysz

Magda: tam w drugim wierszu pominęłam A⁻¹ *A XB= A⁻¹ *C

Magda: rozkminiasz ? ja teraz jestem na etapie szybkiej powtórki z pochodnych, reg, de l"hospitala i ekstrema f.wielu zmiennych

bjornolf: Twój sposób jest szybszy, potrenuję go. niemniej próbuję z tą A⁻¹*X^T=B hmm.. A⁻¹*X^T=B /*A ale to chyba nic nie da, bo robią mi się już 2 niewiadome więc może X^T zrobić na literkach X i wymnożyć, tyletylko, czy tak można?

bjornolf: tak, tak rozumiem

Magda: A⁻¹*X^T=B / *A A*A⁻¹*X^T= A*B X^T=AB/ *^T teraz korzystam z kolejnego twierdzenia, że (A^T)^T = A, czyli obie strony podnosze do transpozycji (X^T)^T = (AB)^T X=(AB)^T koniec

Magda: ty chyba nie masz tyh twierdzeń może ci napisze, bo zaraz spadam

Magda: tych*

Magda: a X= (AB)^T to można inaczej że X= B^T* A^T, nie A^T*B^T (to kolejne twierdzenie )

bjornolf: tego twierdzenia nie miałem podanego a jak mam obliczyć A^T z A⁻¹?

Magda: po prostu my na poczatku kazdego zadnia mielismy podane równanie i że np 2 1 2 3 A=2 1 B= 3 4 to po prostu podstawiało się do wyniku, mnożyło, transponowało, cokolwiek i otrzymywaliśmy X

bjornolf: no, ja niestety na początku mam podane A⁻¹ zapytam się na ćwiczeniach. dzięki i powodzenia w de l'hospitalu

Magda: TWIERDZENIA (A+B)^T= A^T +B^T (A+B)⁻¹= A⁻¹ + B⁻¹ (A*B)^T= B^T *A^T (A*B)⁻¹= B⁻¹*A⁻¹ (A^T)⁻¹= (A⁻¹)^T I*A= A*I= A (A+B)+C= A+(B+C) A⁻¹ *A= I (A⁻¹)⁻¹ = A (A^T)^T= A A*B ≠ B*A

Magda: A BJORFNOLFIE− tak z ciekawości− co studiujesz, gdzie ? i który rok

Alex: Ile to jest XA²=B