Równania diofantyczne Keira: Czy mógłby ktoś wytłumaczyć mi sposoby rozwiązywania równań diofantycznych lub polecić jakąś stronkę, w miarę zrozumiałą? Tu mam przykladowe równanie, które muszę rozwiązać x² = y² + 2y + 12 rozwiązać w liczbach naturalnych

Vax: Nasz przykład można zrobić w ten sposób: x² = y²+2y+12 x² = (y+1)²+11 x²−(y+1)² = 11 (x−y−1)(x+y+1) = 11 Skoro x,y są naturalne to może być jedynie: {x−y−1 = 1 {x+y+1 = 11 skąd dostajemy {x=6 {y=4 I to jest jedyne naturalne rozwiązanie, nie ma ogólnego sposobu na rozwiązywanie równań diofantycznych (tzn jeżeli mamy układy liniowe, to jest, można np łatwo z kongruencji znaleźć wszystkie rozwiązania) ale jeżeli chodzi o równania wyższych stopni to trzeba po prostu kombinować, np tak jak pokazałem wyżej. Pozdrawiam.

Keira: No tak, to jest dość proste rozwiązanie, tylko właśnie nie wiem czy oby o to Pani chodzi. Szczerze mówiąc nic wcześniej nie slyszałam o równaniach diofantycznych

Keira: (pani − mojej matematyczce )

Keira: no dobra, ale to jest albo bardziej skomplikowane albo coś mi nie idzie: (2a + b)(5a + 3b) = 7

Vax: Czemu bardziej skomplikowane? To jest zapisane w jeszcze prostszej postaci, bo już dane wyrażenie mamy zapisane w postaci iloczynu dwóch czynników, jeżeli a,b są naturalne, to oczywiście zachodzi 5a+3b > 2a+b czyli jedynym rozwiązaniem naturalnym będzie: {2a+b = 1 {5a+3b = 7 {a=−4 {b=9 Jak widać otrzymaliśmy nienaturalne a, skąd wynika, że dane równanie nie ma rozwiązań naturalnych, jeżeli miało być w całkowitych, to to rozwiązanie jest dobre, musisz jeszcze wtedy rozwiązać kilka innych układów równań, kiedy mamy np. (−1)*(−7)=7 Pozdrawiam.

AS: A druga możliwość? 2a + b = 7 8a + 3b = 1 daje rozwiązanie a = −10 , b = 27 też nie daje pozytywnego wyniku ale zbadać należało.

Keira: ...no tak...racja...ehh dzięki wielkie

Vax: AS, nie rozumiem. Przecież napisałem, że ta możliwość dla naturalnych a,b jest NIE MOŻLIWA, co w prosty sposób udowodniłem, więc po co rozwiązywać taki układ, skoro z góry wiemy, że naturalnych rozwiązań nie otrzymamy? Pozdrawiam.

AS: Podaję przykład (2*a + b)*(4*a − 7*b) = 5 Pierwsza możliwość 2*a + b = 1 4*a − 7*b = 5 Po rozwiązaniu a = 2/3 , b = −1/3 nie spełnia warunku zadania Druga możliwość 2*a + b = 5 4*a − 7*b = 1 Po rozwiązaniu a = 2 , b = 1 spełnia warunek zadania

Bogdan: Wiele pokoleń matematyków łamało sobie zęby szukając rozwiązań równań diofanicznych (rozwiązań takich równań szuka się w zbiorze liczb całkowitych), dokonując przy okazji nowych odkryć matematycznych. Typowym przykładem jest tu równanie a² + b² = c², którego rozwiązaniami są tzw. trójki pitagorejskie oraz bardziej ogólne xⁿ + yⁿ = zⁿ (n∊N). Tym ostatnim równaniem i stwierdzeniem w 1637 r., że dla n > 2 brak jest całkowitych rozwiązań słynny Fermat do dzisiaj nie daje spać poszukiwaczom dowodu tego tzw. wielkiego twierdzenia Fermata (http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielkie_twierdzenie_Fermata ). W internecie można znaleźć wszystko, pierwsze ciekawe linki dotyczące równań diofanicznych jakie pojawiły się w wyszukiwarce podaję niżej. http://tages.fm.interia.pl/diofantos.html http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node135.html http://www.ibuk.pl/fiszka/140/Teoria+liczb.html (czytelnia on−line IBUK.PL) http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node52.html Czy nie szkoda takiej ładnej pogody na matematyczne rozważania?

AS: Wielkie twierdzenie Fermata zostało stosunkowo niedawno udowodnione. Nie istnieje trójka liczb spełniająca równanie dla n > 2

Bogdan: W linku, który podałem http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielkie_twierdzenie_Fermata jest wzmianka o tym dowodzie i jego autorze.

luka: 2log₃ 6−log₃ 4 jak to obliczyć

ICSP: 2

Eta:

	36
2log36 −log34= log362−log34= log3		= log39= 2
	4

zgadza się z odp; podaną przez ICSP, którego pozdrawiam

ICSP: Witam Etę

Vax: AS przeczytaj dokładnie moją wypowiedź i przeanalizuj, skąd wywnioskowałem bez obliczeń, że drugi przypadek nie da nam naturalnych rozwiązań.. W naszym przykładzie mieliśmy: (2a+b)(5a+3b) = 7 Zauważyłem że skoro a,b są naturalne, to dla dowolnych naturalnych (>0) zachodzi: 5a + 3b > 2a+b ⇔ 3a+2b > 0 Więc nie musimy rozwiązywać takiego układu: {2a+b = 7 {5a+3b = 1 Bo wiemy, że taka możliwość przy naturalnych niewiadomych nigdy nie będzie spełniona. W Twoim natomiast przykładzie: (2a+b)(4a−7b) = 5 Musimy już oba przypadki rozpatrzeć, ponieważ nierówność: 4a−7b > 2a+b (oraz odwrotna) nie zachodzą dla dowolnych liczb naturalnych. Mam nadzieję, że już rozumiesz o co mi wcześniej chodziło Pozdrawiam.