Ciąg arytmetyczny Grześ: Suma k wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi s zaś suma s wyrazów tego ciągu wynosi k. oblicz sumę s+k wyrazów tego ciągu jeśli k jest różne od s Tak więc mamy dane: S_k=s S_s=k

	2a1+(n−1)r
Rozpisujemy każdą sumę ze wzoru: Sn=		*n, czyli:
	2

	2a1+(k−1)r
Sk=		*k
	2

	2a1+(s−1)r
Ss=		*s
	2

Robimy układ równań:

2a1+(k−1)r
	*k=s
2

2a1+(s−1)r
	*s=k
2

Z tego układu musimy wyznaczyć a₁ oraz r w zależności od s i k.

2a1+(k−1)r
	*k=s / : k
2

2a1+(s−1)r
	*s=k / : s
2

2a1+(k−1)r		s
	=
2		k

2a1+(s−1)r		k
	=
2		s

	s
2a1+(k−1)r=2
	k

	k
2a1+(s−1)r=2		Odejmujemy obustronnie:
	s

	s		k
2a1+(k−1)r−2a1−(s−1)r=2		−2
	k		s

	s2−k2
(k−1−s+1)r=2
	sk

	(s−k)(s+k)
−(s−k)r=2		/:(s−k)
	sk

	s+k
−r=2
	sk

	−2(s+k)
r=
	sk

Mamy już "r", teraz:

	s
2a1+(k−1)r=2		podstawiamy przykładowo do tego równania i liczymy a1
	k

	−2(s+k)		s
2a1+(k−1)		=2
	sk		k

	2s		2(k−1)(s+k)
2a1=		+
	k		sk

	2s2+2(k−1)(s+k)
2a1=
	sk

	−2(s+k)
r=
	sk

Teraz mamy policzyć:

	2a1+(s+k−1)r		2s2+2(k−1)(s+k)   −2(s+k)   +(s+k−1) sk   sk
Ss+k=		*(s+k)=		*(s+k)=
	2		2

	2s2+2(k−1)(s+k)−2(s+k)(s+k−1)   sk
=		*(s+k)=
	2

	2s2+2(k−1)(s+k)−2(s+k)(s+k−1)
=		*(s+k)=
	2sk

	s2+(k−1)(s+k)−(s+k)(s+k−1)
=		*(s+k)=
	sk

	s2+(s+k)(k−1−s−k+1)
=		*(s+k)=
	sk

	s2−s(s+k)
=		*(s+k)=
	sk

	s2−s2−sk
=		*(s+k)=
	sk

	−sk
=		*(s+k)=−(s+k)
	sk

Czyli: S_s+k=−(s+k)