Przedstaw wielomian W(x)=x^4-2x^3-3x^2 4x-1
QN: Przedstaw wielomian W(x)=x4-2x3-3x2+4x-1 w postaci iloczynu 2 Wielomianów stopnia 2 o
współczynnikach całkowitych i takich że współczynnik 2potegach są równe 1
2 mar 00:09
Eta: Jeszcze policzę przed spankiem
2 mar 01:03
Basia:
P(x) = x2 + ax + b
Q(x) = x2 + cx + d
P(x)*Q(x) = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) =
x4 + cx3 + dx2 + ax3 + acx2 + adx + bx2 + bcx + bd =
x4 + x3(c + a) + x2(d + ac + b) + x(ad + bc) + bd
stąd:
a+c = -2
b+d+ac = -3
ad+bc = 4
bd=-1
a,b,c,d ∈C czyli ( b=1 i d=-1) lub (b=-1 i d=1)
1. b =1 i fd=-1
a+c = -2
---------------
1-1+ac =-3
ac = -3
-a + c = 4
---------------
dodajemy podkreślone
2c = 2
c=1
a=-3
( a=-3 b = 1 c=1 d=-1)
2. b = -1 i d = 1
a + c = -2
a - c = 4
----------------------
2a = 2
a=1
c = -3
( a=1 b=-1 c=-3 d=1)
czyli są to wielomiany
( a=-3 b = 1 c=1 d=-1)
P(x) = x2 - 3x + 1
Q(x) = x2 + x - 1
lub
( a=1 b=-1 c=-3 d=1)
P(x) = x2 + x - 1
Q(x) = x2 - 3x +1
czyli naprawdę jest tylko jedna odpowiedź:
W(x) = (x2 + x -1)(x2 - 3x + 1)
2 mar 01:08
Eta:
Sprawdzając kandydatów na pierwiastki całkowite
- 1 i +1 okazuje się ,że;
W( 1)≠0 i W( -1) ≠0 czyli nie ma pierwiastków całkowitych
( a szkoda , byłoby prościej!)
więc ja myslę tak : ( najwyżej Basia lub Bogdan zweryfikują moje rozwiazanie)
(***) a
2 - b
2 = ( a- b)( a+b)
korzystajac z tego wzoru mamy:
po odpowiednim grupowaniu trzeba doprowadzić W(x)
do różnicy kwadratów:
czyli:
x
4 - 2x
3 +x
2 - 4x
2 +4x -1 ( bo - 3x
2 = +x
2 - 4x
2
tteraz: grupujemy po trzy wyrazy ;
( x
4 - 2x
3 + x
2) - ( 4x
2 - 4x +1)=
=( x
2 - x)
2 - ( 2x - 1)
2 i teraz ze wzoru (***)
mamy:
( x
2- x - 2x +1) ( x
2 - x +2x - 1)=
= ( x
2 - 3x +1) ( x
2 +x - 1)
i to tyle:
współczynniki są całkowite,
współczynniki przy x
2 są równe 1
czyli wszystko zgodne z treścią zadania!
Po wymnożeniu otrzymamy W(x)
zatem taki jesyt ten rozkład tego wielomianu
na dwa czynniki stopnia drugiego!
Dobranoc Wszystkim! Do jutra!
2 mar 01:17
Eta:
Basia oczywiście nie dała za wygraną i przedstawiła Swoje rozwiązanie!
Rozkład sie zgadza ! więc jest ok!
U mnie mniej liczenia( też jestem " chwalipiętą "
2 mar 01:19
Basia: prawda, ale moje bardziej uniwersalne
2 mar 01:27
Eta:
Moje bardzo proste , bo z rozkładu
2 mar 01:28
Eta:
A do tego jak mało czasu zabiera ( np; na maturze
)
2 mar 01:31
Basia: a jak zadanie będzie złośliwe i rozkład okaże się niemożliwy ?
2 mar 01:38
Eta: Ale był "łaskawy"
widziałam to na "oko"
ale to ja widziałam!... a czy maturzysta by to widział?
to już tego nie wiem?..
2 mar 01:43
Bogdan:
Obu paniom gratuluję nieustępliwości - w rozwiązywaniu zadań, oczywiście.
Pozdrawiam
2 mar 09:43