Ciąg / granica ciągu - pomożecie ? Bartek: Hej Macie jakiś pomysł na takie zadanie ? Dany jest ciąg x_n = π + π/2 + π/4 + ... + π / 2ⁿ. Oblicz granicę ciągu a_n =sin(x_n - π/2) Będę wdzięczny za pomoc

Basia: rozwiązuję

Basia: π, π/2, π/2²,...........,π/2ⁿ to ciąg geometryczny a₁ = π q = 1/2 1 - qⁿ 1 - 1/2ⁿ x_n = S_n = a₁* ------------- = π* ------------ 1 - q 1 - 1/2 x_n = 2π*(1 - 1/2ⁿ) x_n - π/2 = 2π - π/2^n-1 - π/2 = π/2 - π/2^n-1 → 3π/2 - 0 = 3π/2 przy n→+∞ czyli lim sin(x_n - π/2) = sin(3π/2) = -1 n→+∞

Bartek: dzięki !

Bartek: wynik się zgadza, ale mam parę pytań x_n - π/2 = 2π - π/2n-1 - π/2 = π/2 - π/2n-1 → 3π/2 - 0 = 3π/2 przy n→+∞ | dlaczego tutaj nie jest 3π/2 - π/2^n-1 ? i skąd wzięłaś, że 3π/2 - 0 = 3π/2 przy n→₊∞ ?

Basia: ma być; źle wklepane

Basia: nie tak to należy przeczytać 3π/2 - π/2^n-1 dązy do 3π/2 - 0 gdy n→+∞ inaczej: lim [ 3π/2 - π/2^n-1 ] = 3π/2 - 0 = 3π/2 n→+∞ bo lim π/2^n-1 = lim π / (2ⁿ*2^-1) = lim π / [2ⁿ*(1/2)] = lim 2π/2ⁿ = n→+∞ 2π*lim(1/2ⁿ) = 2π*0 = 0

Basia: już rozumiesz ? bo zaraz kończę i wrócę dopiero koło pierwszej

Bartek: tak, teraz wszystko jasne, dzięki !