Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste. kasia: Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste

	x2
a)
	x4−1

	x2+2x
b)
	(x2+2x+2)2

pomoze ktoś?

Godzio:

x2		x2		Ax + B		C		D
	=		=		+		+
x4 − 1		(x2+1)(x−1)(x+1)		x2 + 1		x − 1		x + 1

(Ax + B)(x − 1)(x + 1) + C(x² + 1)(x + 1) + D(x² + 1)(x − 1) = = (Ax + B)(x² − 1) + C(x³ + x² + x + 1) + D(x³ − x² + x − 1) = Ax³ − Ax + Bx² − B + Cx³ + Cx² + Cx + C + Dx³ − Dx² + Dx − D = x³(A + C + D) + x²(B + C − D) + x(− A + C + D) − B + C − D Z równości wynika:

⎧	(1) A + C + D = 0
⎜	(2) B + C − D = 1
⎨	(3) − A + C + D = 0
⎩	(4) − B + C − D = 0

(1) − (3) = 2A = 0 ⇒ A = 0

	1
(2) − (4) = 2B = 1 ⇒ B =
	2

	⎧	C + D = 0
+	⎩	C − D = 12

−−−−−−−−−−−−−

	1
2C =
	2

	1		1
C =		⇒ D = −
	4		4

Ax + B		C		D
	+		+		=
x2 + 1		x − 1		x + 1

	1		1		D
=		+		−
	2(x2 + 1)		4(x − 1)		4(x + 1)

kasia: dzieki wielkie

Godzio:

x2 + 2x		A		B
	=		+
(x2 + 2x + 2)2		x2 + 2x + 2		(x2 + 2x + 2)2

A(x² + 2x + 2) + B = Ax² + 2Ax + 2A + B

⎧	A = 1
⎨	2A = 2 ⇒ A = 1
⎩	2A + B = 0 ⇒ B = −2

A		B		1		2
	+		=		−
x2 + 2x + 2		(x2 + 2x + 2)2		x2 + 2x + 2		(x2 + 2x + 2)2

AS: Przykład a)

x2		A		B		C*x + D
	=		+		+
x4 − 1		x − 1		x + 1		x2 + 1

A*(x + 1)*(x² + 1)+ B*(x − 1)*(x² + 1) + (C*x + D)*(x² − 1)= x² Po wymnożeniu i uporządkowaniu otrzymamy (A + B + C)*x³ + (A B + D)*x² + (A + B − C)*x + A − B − D = x² Porównując współczynniki otrzymamy układ równań A + B + C = 0 A − B + D = 1 A + B − C = 0 A − B − D = 0 => A = 1/4 , B = −1/4 , c = 0 , D = 1/2