Zadanka dla Godzia i nie tylko... Gustlik: Godzio, jak jak zwykle mam dla Ciebie łamigłówkę, choć wiem, że dla Ciebie to będzie dziecinada. Niemniej fajne zadanka, zapraszam też innych chętnych: 1. Jakie warunki powinna spełniać liczba m, aby pierwiastki równania: 5^x(x+1)*25^m(m+1)/2=√5^x2*125^(mx+m+1)/2 spełniały nierówność

1		1
	+		>0 ?
x1		x2

2. a) Proste postaci y=−4mx+6m+2 są styczne do krzywej xy=4. Wyznacz współrzedne punktu wspólnego tych stycznych. b) Wykaż, że każda styczna do krzywej xy=a², gdzie a≠0 ogranicza z osiami układu współrzędnych trójkąt o jednakowym polu.

Godzio: Zaraz się zabiorę

Godzio: Zad. 1 5^{x(x + 1)} * 25^{m(m + 1)/2} = 5^x2/2 * 125{mx + m + 1)/2 5^{x2 + x + m2 + m} = 5^{x2/2 + 3(mx + m + 1)/2}

	x2		3mx + 3m + 3
x2 + x + m2 + m =		+		/*2
	2		2

2x² + 2x + 2m² + 2m = x² + 3mx + 3m + 3 x² + x(2 − 3m) + 2m² − m − 3 = 0 Δ ≥ 0 ⇒ 4 − 12m + 9m² − 8m² + 4m + 12 = m² − 8m + 16 = (m − 4)² ≥ 0 ⇒ m ∊R

x1 + x2
	> 0
x1x2

3m − 2
	> 0
2m2 − m − 3

(3m − 2)(m + 1)(2m − 3) > 0

	2		3
m =		lub m = −1 lub m =
	3		2

	2		3
m ∊ (−1,		)U(		,∞)
	3		2

Zad. 2 a) y = −4mx + 6m + 2 xy = 4 ⇒ −4mx² + x(6m + 2) − 4 = 0 ⇒ Δ = 0 i m ≠ 0 Δ = 36m² + 24m + 4 − 64m = 36m² − 40m + 4 = 0 ⇒ 9m² − 10m + 1 = 0 (m − 1)(9m − 1) = 0

	1
m = 1 lub m =
	9

y = −4x + 8 xy = 4 punkt wspólny: (1,4)

	4		8
y = −		x +
	9		3

	4
xy = 4 punkt wspólny: (3,		)
	3

b) Za moment

Godzio: xy = a²

	a2
y =
	x

	a2
y = bx + c ⇒		= bx + c ⇒ bx2 + cx − a2 = 0
	x

	c2
Δ = c2 + 4a2b = 0 ⇒ b = −
	4a2

	c2
y = −		x + c
	4a2

	4a2
Oś OX: (		,0) , OY: (0,c)
	c

	1		4a2
P =		*		* c = 2a2
	2		c

Gustlik: Fajnie sobie poradziłeś. Ale jak znajdę jakąś fajną łamigłowke to Ci napiszę. Pozdrawiam