Trygonometria ;):

1		1		π
	+		= √8 sinx ≠ kπ k∊C ⋀ cosx ≠		+ kπ k∊C
sinx		cosx		2

cosx + sinx
	= √8
sinxcosx

√8sinxcosx = sinx + cosx / ² 8(sinxcosx)² = 1 + 2sinxcosx 8(sinxcosx)² − 2sinxcosx − 1 = 0 sinxcosx = t 8t² − 2t − 1 = 0 Δ = 1 + 8 √Δ = 3

	1 − 3		1		1
t1 =		= −		sinxcosx = −
	8		4		4

	1 + 3		1		1
t2 =		=		sinxcosx =
	8		2		2

Teraz pytanko jak to dalej rozwiązać? Dziękuję z góry za odpowiedź

Godzio: Taki szczegół:

	π
x ≠ kπ i x ≠		+ kπ k∊C
	2

	1
sinxcosx = −		/ *2
	4

	1
2sinxcosx = −
	2

	1
sin2x = −
	2

	1
Analogicznie
	2

;): Na górze napisałem dziedzinkę Godzio Oczywiście zawsze na Ciebie można liczyć i zawsze wszystko widzisz dziękuję Ci bardzo

Godzio: Można to też tak zrobić: √8sinxcosx = sinx + cosx /:√2

	√2		√2
2sinxcosx =		sinx +		cosx
	2		2

	π
sin2x = sin(x +		)
	4

	π		π
2x = x +		+ 2kπ lub 2x = π − x −		+ 2kπ
	4		4

x = ... lub x = ...

Godzio: No tak, tylko że ty napisałeś sinx ≠ kπ, a nie x

;): Rzeczywiście chciałem napisać sinx ≠ 0 a napisałem od razu wynik zamiast 0 Takie ciekawe zadanka znalazłem może chcesz kilka?

Godzio: Jak jakieś trudniejsze możesz dać

Godzio: Tak się zastanawiam czy po przez podniesienie do kwadratu nie dokładasz rozwiązań hmmm ?

;): Można sprawdzić czy podnosząc do kwadratu wychodzą te same wyniki to u Ciebie

;): A tylko powiedz jaki dział czy obojętne co Ci dać?

Godzio: Ale raczej nie powinno się tak robić, weźmy prosty przykład: x − 1 = 2x + 1 x = − 2 x − 1 = 2x + 1 /² x² − 2x + 1 = 4x² + 4x + 1 3x² + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 x = 0 lub x = − 2 I nie wychodzi dokładnie to samo, u Ciebie wyjdą 3 rozwiązania u mnie dwa

Godzio: Obojętnie

;): Na przyszłość zapamiętam jeszcze raz wielkie dzięki Posługując się rachunkiem różniczkowym określić liczbę rozwiązań równania 2x³ + 1 = 6|x| − 6x²

;): Takie na rozgrzewkę Ci dałem

Godzio: Skąd bierzesz te zadania, bo chyba się domyślam ? To zadanie robiłem już, była taka sama treść, tyle że rachunkiem różniczkowym tego nie zrobię

;): Znalazłem przez przypadek na stronie jednej jakieś Prace Kontrolne czy coś takiego

Godzio: Tak myślałem Korespondencyjny kurs z matematyki http://www.im.pwr.wroc.pl/kurs/ Tego zadania niestety nie zrobię, bo trzeba mieć nieco większą wiedzę

;): Właśnie dokładnie z tej stronki będę miał co w między czasie robić To książka do reki i jutro widzę zadanie zrobione oczywiście żartuje

Godzio: Mam zbiór zadań 1999−2004 z odpowiedziami i wskazówkami, także jakbyś chciał sprawdzić to służę pomocą

;): Oo naprawdę to jak coś to niestety ale będę musiał Cię ponękać troszkę

;): Ale jak tak patrzę na te Prace Kontrolne to z roku na rok chyba łatwiejsze robią

Godzio: Ano, kiedyś poziom był wyższy Osobiście wysyłałem w tym roku zadania, i też znowu aż takie wszystko oczywiste nie było

;):

8		9
	(sin2x + sin4x + ... ) = 4 − 2cosx + 3cos2x −		cos3x + ...
3		2

q₁ = sin²x

	sin2x
Sn1 =
	1 − sin2x

S_n1 = tg²x

	3
q2 = −		cosx
	2

	−2cosx
Sn2 =		→ można coś z tym dalej zrobić czy nie bardzo?
	3   1 + cosx   2

Godzio: Żeby można było skorzystać ze wzoru na sumę to |q| < 1 ⇒ x ∊ ... Jedynie tyle:

	−4cosx
S2 =		=
	2 + 3cosx

Godzio:

	1 − cos2x
Żeby to rozwiązać, proponowałbym jednak S1 =
	cos2x

i cosx = t Tak chyba najłatwiej by było

;):

8		8 + 8cosx		1
	tg2x =		/ *
3		2 + 3cosx		8

1		1 + cosx
	tg2x −
3		2 + 3cosx

2 + 3cosx − cosx − cos2x
	= 0
2cosx + 3cos2x

−cos2x + 2cosx + 2
	= 0
2cosx + 3cos2x

cosx = t −t² + 2t + 2 = 0 Δ = 1 + 2 √Δ = √3 t₁ = 2 + √3 t₂ = 2 − √3 Hmm dobrze jest to Godzio ?

;): Ech nie zauważyłem Twojego wpisu wyżej bo robiłem to zadanie

;): Oczywiście t∊<−1,1> więc t₁ odpada i zostaje t₂ = 2 − √3

Godzio:

8		1 − t2		4t
	*		= 4 −
3		t2		2 + 3t

2		1 − t2		t
	*		= 1 −
3		t2		2 + 3t

1 − t2		t + 1
	=
3t2		2 + 3t

(1 − t²)(2 + 3t) = 3t²(t + 1) 3t²(t + 1) + (t² − 1)(2 + 3t) = 0 (t + 1)(3t² + 2t + 3t² − 2 − 3t) = 0 (t + 1)(6t² − t − 2) = 0 (t + 1)(2t + 1)(3t − 2) = 0

	1		2
t = − 1 − to wypadnie za pewne ze względu na D, lub t = −		lub t =		− odpada
	2		3

	1
t = −
	2

	1
cosx = −
	2

	2		2
x =		π + 2kπ lub x = −		π + 2kπ
	3		3

;): Jak coś to jutro zobaczę kolejne zadanie i dziękuję za pomoc Dobranoc

Godzio: Dobranoc

;): Kolejne zadanko to sprawdzenia 3^x + 1 + 3^−x + ... = 4

	1
q = (		)x
	3

	1
|q| < 1 ⇒ (		)x < 1 x > 0
	3

3x
	= 4
1 − 3−x

32x
	= 4 / * (3x − 1)
3x − 1

3^2x = 4 * 3^x − 4 3²x − 4 * 3^x + 4 = 0 (3^x − 2)² = 0 3^x = 2 x = log₃2

;): Rozwiąż równanie cos4x = sin3x cos4x − sin3x = 0

	π		π		π
sin3x = cos(		− 3x) = cos(−(3x −		)) = cos(3x −		)
	2		2		2

	π
cos4x − cos(3x −		) = 0
	2

Teraz nie wiem czy mogę skorzystać z wzoru cosα − cosβ ? Czyli

	π   4x + 3x −   2		π   4x − 3x +   2
−2sin		sin		= 0
	2		2

	π   7x −   2		π   x +   2
sin		sin		= 0
	2		2

	π   7x −   2		π   x +   2
sin		= 0 ⋁ sin		= 0
	2		2

π   7x −   2		π   x +   2
	= kπ / * 2 ⋁		= kπ / * 2
2		2

	π		1		π
7x =		+ 2kπ / *		⋁ x = −		+ 2kπ
	2		7		2

	π		2		π
x =		+		kπ k∊C ⋁ x = −		+ 2kπ k∊C
	14		7		2

Czy w ogóle jest to dobrze?

Bogdan:

	π
cos4x = sin3x ⇒ cos4x = cos(		− 3x)
	2

	π		π
4x =		− 3x + k*2π lub 4x = −		+ 3x + k*2π
	2		2

	π		π
7x =		+ k*2π lub x = −		+ k*2π
	2		2

	π		2π		π
x =		+ k*		lub x = −		+ k*2π
	14		7		2

;): Jeju a ja rozpisywałem to na wzory Dziękuję bardzo Bogdanie będę musiał nauczyć się na szybko robić bez zbędnych liczeń

;): A mógłbyś Bogdanie jeszcze zerknąć na to powyżej zadanie?

Bogdan: zadanie z szeregiem geometrycznym jest dobrze rozwiązane

;): Dziękuję bardzo Teraz ostatnie jak coś może później jeszcze porobię Zbadaj liczbę równania w zależności od parametru m ||x + 5| − 1| = m y = x ^{→| |} y = |x| ^{→Tu→ = [−5,0]} y = |x + 5| ^→{Tu^→ = [0,−1]} y = |x + 5| − 1 →^{| |} y = ||x + 5| − 1| m∊(−∞,0) → 0 rozw. m = 0 → 2 rozw. m∊(0,1) → 4 rozw. m = 1 → 3 rozw. m∊(1,∞) → 2 rozw.