Zadanie 1. ( 7pkt ) Zadanie 1. ( 7 pkt. ): Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=2x+3/x+4 i ciąg (f_n) o wyrazie ogólnym f_n=2n+3/n+4 a) wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f i określ monotoniczność ciągu (f_n). b) znajdź wszystkie argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości nie mniejsze niż 1,5. c) znajdź najwięszy wyraz ciągu (f_n) mniejszy od 5/3

Basia: jeżeli znasz pochodne to: x+4 ≠ 0 x ≠ -4 (2x+3)'*(x+4) - (x+4)'*(2x+3) f'(x) = ------------------------------------- (x+4)² 2(x+4) - 1(2x+3) f'(x) = ------------------------- (x+4)² 5 f'(x) = ---------------------- (x+4)² ta pochodna jest dodatnia dla k. x≠4 czyli funkcja jest przedziałami rosnąca tzn. rośnie w przedziale (-∞; -4) i w przedziale (-4;+∞) ale nie jest rosnaca w całej swojej dziedzinie bo: 2 + 3/x 2 + 0 lim f(x) = lim ------------------ = ----------- = 2 x→-∞ x→-∞ 1 + 4/x 1 + 0 1 lim f(x) = lim (2x+3) * lim -------------- = (-5)*(-∞) = +∞ x→-4^- x→-4^- x→-4^- x + 4 czyli dla x∈(-∞;-4) wartości funkcji rosną w przedziale (2;+∞) 1 lim f(x) = lim (2x+3) * lim -------------- = (-5)*(+∞) = -∞ x→-4⁺ x→-4⁺ x→-4⁺ x + 4 2 + 3/x 2 + 0 lim f(x) = lim ------------------ = ----------- = 2 x→+∞ x→+∞ 1 + 4/x 1 + 0 czyli dla x∈(-4;+∞) wartości funkcji rosną w przedziale (-∞;2) jeżeli nie znasz granic i pochodnych musisz skorzystać z własności funkcji homograficznej 2(x + 4 - 4 + 3/2) 2(x+4) - 5/2 (-5/2) f(x) = ------------------------- = ------------------- = ------------- + 2 x + 4 x + 4 x + 4 czyli wykres tej funkcji powstaje z przesunięcia hiperboli (-5/2) / x o wektor u=[-4;2] i z tego wynika cała reszta, którą już poprzednio opisałam ponieważ w przedziale (-4; +∞) f.jest rosnąca to ciąf f_n też jest rosnący bo wszystkie n∈(-4;+∞) ---------------------------------------------------------------------- --------------------------- (2x+3) / (x+4) < 1,5 x≠-4 (2x + 3) / (x+4) - 3/2 < 0 [ 2(2x+3) - 3(x+4)] / 2(x+4) < 0 (4x+6 - 3x -12) / 2(x+4) < 0 (x -6) / 2(x+4) <0 /*2 (x-6) / (x+4) < 0 [ x-6>0 i x+4<0 ] lub [ x-6<0 i x+4>0 ] ⇔ [ x>6 i x<-4 ] lub [ x<6 i x>-4 ] ⇔ niemożliwe lub [ x<6 i x>-4 ] ⇔ [ x<6 i x>-4 ] ⇔ x∈(-4; 6) ------------------------------------------------------------------------------ (2n+3)/(n+4) < 5/3 /*3(n+4) tu mamy prawo pomnozyć bo n∈N czyli n+4>0 czyli wiadomo, że kierunek nierówności sie nie zmieni (z "iksami" tak nie było wolno) 3(2n+3) < 5(n+4) 6n + 9 < 5n + 20 n < 11 czyli n=10 a₁₀ = (20+3) / (10+4) = 23/14 = 23*3/14*3 = 69/42 < 70/42 = 5/3