Logarytm z parametrem FredS: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie mlog²₂(x+1)−2mlog₂(x+1)+m−4=0 ma dwa różne rozwiązania mniejsze od 3. Nie mam pojęcia jak rozwiązać takie zadanie. Najpierw dziedzina, później... Proszę o pomoc

Godzio: D = (−1,∞) log₂(x + 1) = t mt² − 2mt + m − 4 = 0 f(3) > 0 a > 0 t_w < 3 lub f(3) < 0 a < 0 t_w < 3 A inaczej można to zapisać: f(3) * a < 0 t_w < 3 Część wspólna tych dwóch warunków da Cie rozwiązanie

Godzio: A i oczywiście Δ > 0

FredS: co to a i t_w?

Godzio: a to współczynnik przy najwyższej potędze, t_w to pierwsza współrzędna wierzchołka

FredS: nie bardzo rozumiem. ax²+bx+c=0 o to chodzi? chodzi o ramiona funkcji? t_w nadal nie rozumiem.

Godzio: ax² + bx + c = 0 x_w − wierzchołek at² + bt + c = 0 t_w − wierzchołek

Godzio:

	−b
dodam, tw =
	2a

FredS: no tak, ale ze mnie gapa. Dziękuje

FredS: coś chyba źle robię bo wychodzi mi że jest jedno rozwiązanie m=2. Czy to jest dobrze?

FredS: Mógłby ktoś mi odpowiedzieć?

;): I tylko jedna odpowiedź Ci wyszła? Powinien Ci wyjść przedział

FredS: jedna coś robię źle.

Godzio: mt² − 2mt + m − 4 = 0 f(3) * a = (9m − 6m + m − 4) * m = (4m − 4) * m = 4(m − 1)m < 0 ⇒ m ∊ (−∞,0)U(1,∞)

	4
Δ = 4m2 − 4m(m − 4) = 4m(4m − m + 4) = 4m(3m + 4) > 0 ⇒ m ∊ (−∞,−		)U(0,∞)
	3

	2m
tw =		= 1 < 3 ⇒ m ∊ R
	2m

	4
Odp: m ∊ (−∞,−		)U(1,∞)
	3

Godzio: Błąd ... 4(m − 1)m < 0 ⇒ m ∊ (0,1) Czyli odp: m ∊ (0,1)

FredS: a wgl dlaczego f(3)*a?

Godzio: To jest uproszczenie rozpatrywania a > 0 i f(3) > 0 lub a < 0 i f(3) < 0

Godzio: Wiesz co, To pierwsze rozwiązanie było dobrze bo f(3) * a > 0 a nie < 0 ... źle znak napisałem sorki za błąd

FredS: Wiesz co? Nie ogarnę tego dzisiaj:( może jutro. Dzięki.

;): Godzio takie pytanko do Ciebie dla f(3) * a > 0 może być dla f(3) < 0 ⋀ a < 0 A jak rozpatrzymy osobno dla f(3) > 0 ⋀ a > 0 ⇒ m(1,∞) wychodzi taki przedział Więc teraz nie wiem które jest dobre rozwiązanie?

Godzio: Jak osobno to rozpatrujemy: f(3) < 0 i a < 0 −− część wspólna lub f(x) > 0 i a > 0 −− część wspólna Odp: Suma rozwiązań

;): Okej już rozumuje jak to zrobiłeś na szybciora od razu wynik wychodzi bez zbędnego liczenia Dziękuję

Piotrek: Odswiezam temat bo tez tego nie rozumiem, wychodzi zły wynik, powinno byc m∊(4,+∞) chyba Δ zle policzona jest

Piotrek: Δ=4m²−4m²+16m=16m Δ>0 dla m>0 f(3)*a=(9m−6m+m−4)*m=(4m−4)*m=4m(m−1)<0 → m∊(−∞;0)∪(1;+∞) t_w=2m/2m=1 <3 x∊D

pigor: .... Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie mlog₂²(x+1)−2mlog₂(x+1)+m−4=0 ma dwa różne rozwiązania mniejsze od 3. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− no to od początku np. tak : 2 różne pierwiastki, to m≠0, więc mlog₂²(x+1)−2mlog₂(x+1)+m−4=0 /:m ⇔ log₂²(x+1)−2log₂(x+1)+1−⁴_m=0 ⇔

	4		2
⇔ (log2(x+1)−1)2=		i m>0 ⇒ |log2(x+1)−1|=		i(*) m>0 , wtedy
	m		√m

	2
log2(x+1)= ±		⇔ x+1= 2 ±2/ √m ⇒ x= 2 ±2/ √m−1 < 3 ⇒
	√m

	2		1
⇒ 2 ±2/ √m< 4 ⇔ 2 ±2/ √m< 22 ⇔ ±		< 2 / *		√m i z (*) m>0 ⇔
	√m		2

⇔ ±1< √m ⇔ √m >1 ⇔ m>1 , czyli m∊(1;+∞) . ... a więc może coś u mnie nie tak; nie lubię szukać; może ktoś coś ...

pigor: o już mam błąd rachunkowy (zapomniałem o −1) , zaraz poprawię

pigor: ... od miejsca wtedy

	2		2
log2(x+1)−1= ±		⇔ log2(x+1)= 1±		⇔ x+1= 21± 2/ √m ⇔
	√m		√m

⇔ x= 2^{1± 2/ √m}−1 i x< 3 ⇔ 2^{1± 2/ √m}< 4 ⇔ 2^{1± 2/ √m}< 2² ⇔

	2		2		2
⇔ 1±		< 2 ⇔		<2−1 lub		>1−2 ⇔
	√m		√m		√m

	2		2		2
⇔		<1 lub		> −1 ⇔		<1 /* √m lub m∊R ⇒
	√m		√m		√m

⇒ 2< √m /² i z (*) ⇒ m > 4 ⇔ m∊(4;+∞) . ...

Piotrek: Pigor super rozwiazanie, dziekuje (nastepnym razem staraj sie uzywac klawisza enter − bardziej przejrzyscie wyglada rozwiazanie)

pigor: ... dzięki za tę uwagę z enter, ja go stosuję, ale będę musiał robić to częściej zanim nie "przeciągnę wiersza" nie widząc tego, bo u mnie jest niby o.k. , ale u ciebie sądzę, jednak wyłazi poza okienko (margines) lub w niekontrolowanym miejscu tekstu robi się "samo" to enter, mimo, że u mnie na ekranie może być tego nie widać . ...

pigor: ... o!, w przedostatniej linijce napisałem ... lub m∊R , oczywiście "zjadłem" + przy R, czyli powinno być ... lub m∊R₊ ; przepraszam .