Geometria Radek: Punkty A=(3,3), B=(9,5), C=(0,12) są kolejnymi wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC, w którym kąt BAC = 90 stopni. a) Oblicz pole trójkąta ABC. b) Wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.

Bogdan: Odpowiedz na te pytania: Jak oblicza się pole trójkąta? Gdzie leży środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym?

krystek: Pole trójkąta to 1/2 iloczynu jego przyprostokątnych. Srodek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu, a połowa długości przeciwprostokątnej jest promieniem .

Bogdan: No właśnie. To co trzeba teraz zrobić, aby rozwiązać zadanie?

Radek: Tak właśnie myślałem, nawet zrobiłem rysunek i tak też mi wyszło, że połowa przeciwprostokątnej jest promieniem. Mam nadzieję że już sobie poradzę. Dziękuje za podpowiedź ale jeśli bedą jeszcze jakies wskazówi to nie pogardzę.

Radek: mam tylko jeszcze jedno pytanko − może głupie ale chcę się upewnić długości boków trójkąta to mam zmierzyć na rysunku czy, to można obliczyć z wyżej podanych danych

Radek: czy to coś takiego − równanie okręgu x²+y²−9x−17y+60=0

Gustlik: A=(3,3), B=(9,5), C=(0,12) ad a) Liczę współrzędne wektorów: AB^→=[9−3, 5−3]=[6, 2] AC^→=[0−3, 12−3]=[−3. 9] Wyznacznik wektorów: d(AB^→, AC^→)= | 6 2 | | −3 9 | =6*9−2*(−3)=54+6=60

	1
Pole =		|d(AB→, AC→)|=30
	2

ad b) Liczę współrzędne wektora BC^→ − przeciwprostokątnej: BC^→[0−9, 12−5]=[−9, 7] |BC|=√(−9)²+7²=√81+49=√130 − dł. przeciwprostokatnej

	1		1
r=		|BC|=		√130
	2		2

	1
r2=		*130=32,5
	4

	9+0		5+12
Środek S=(		,		)=(4,5; 8,5)
	2		2

Odp: (x−4,5)²+(y−8,5)²=32,5 Sprawdzę jeszcze Twoją odpowiedź: x²+y²−9x−17y+60=0

	A		−9
a=−		=−		=4,5
	2		2

	B		−17
b=−		=−		=8,5
	2		2

r=√a²+b²−C=√4,5²+8,5²−60=√32,5 OK !

Bogdan: Nie są uciążliwe obliczenia wyznaczające długości boków podanego trójkąta prostokątnego. |AB| = √40 = 2√10, |AC| = √90 = 3√10,

	1
pole trójkąta P =		*2√10*3√10 = 30,
	2

	9 + 0		5 + 12		9		17
środek boku BC: S = (		,		) = (		,		),
	2		2		2		2

	1		1
długość promienia okręgu opisanego na trójkącie R =		|BC| =		√130,
	2		2

	9		17		130
równanie tego okręgu: (x −		)2 + (y −		)2 =		.
	2		2		4

Gustlik: No ale i tak musisz wyliczyć współrzędne wektorów, bo de facto wzór na długość odcinka zawiera te współrzędne.