indukcja matematyczna azer: Udowodnij korzystając z indukcji matematycznej. 1³+2³+...+n³=(ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂)² Doprowadziłem do takiej postaci: (^k(k+1)₂)²+(k+1)³= ale co dalej? jak doprowadzić do postaci (^(k+1)(k+1+1)₂)² ? Bardzo proszę o pomoc

Grześ: Może tak:

k2(k+1)2		k+1
	+(k+1)3=		(k2(k+1)+4(k+1)2)=
4		4

	(k+1)2		(k+1)2
=		(k2+4k+4)=		(k+2)2=...
	4		4

azer: Wielkie dzięki Grześ ! Mam jeszcze jeden przykład z którym też są drobne problemy: n! > 2ⁿ , n ≥ 4 Doprowadziłem do takiej postaci: 2^k +(k+1)! i co z tym zrobić ? myślałem, że coś tu zmieni wyrzucenie tej silni przed naiwas: 2^k +(k+1)k! ale to chyba nic nie da Proszę o pomoc

Grześ: k!>2^k dla k≥4 (k+1)!>2*2^k (k+1)*k!>(k+1)*2^k Teraz dla k≥4: k+1≥5 (k+1)*2^k≥5*2^k>2*2^k, co należało dowieść

azer: Napisałeś "Dla k ≥ 5" a wstawiłeś 5. Pomyliłeś się czy tak ma być ?

azer: poprawka: "Dla k ≥ 4" chciałem napisać

Grześ: hmm... pod spodem pokazałem przekształcenie, na k+1≥5 Mysle, że jest dobrze. Ewentualnie jak chcesz, to niech to ktoś inny obejrzy

azer: a ten przykład może ktoś zrobić?: 11ⁿ−4ⁿ jest podzielna przez 7

azer: Grześ ale nadal nie moge zrozumieć co ma znaczyć cały ten zapis: "Teraz dla k≥4: k+1≥5 (k+1)*2k≥5*2k>2*2k," Możesz to jakoś krok po kroku wyjaśnić?

Godzio: Dla n = 1 11 − 4 = 7 Założenie n = k 11^k − 4^k = 7p Teza: n = k + 1 11^{k + 1} − 4^{k + 1} = 7s L = 11 * 11^k − 4 * 4^k = 11(11^k − 4^k) + 7 * 4^k = 11 * 7p + 7 * 4^k = 7(11p + 4^k) = 7s Co kończy dowód

Godzio: n! > 2ⁿ n ≥ 4 Dla n = 4 24 > 16 Założenie: n = k, k ≥ 4 k! > 2^k Teza: n = k + 1 (k + 1)! > 2^{k + 1} I bardziej łopatologicznie rozpisane: k ≥ 4 / + 1 k + 1 ≥ 5 Korzystając z założenia: k! > 2^k k + 1 ≥ 5 * −−−−−−−−−−− k!(k + 1) > 5 * 2^k (k + 1)! > 5 * 2^k, a skoro 5 > 2 to: (k + 1)! > 5 * 2^k > 2 * 2^k Co kończy dowód

azer: Godzio nie pomyliłeś się w tym zapisie: L = 11 * 11k − 4 * 4k = 11(11k − 4k) + 7 * 4k = 11 * 7p + 7 * 4k = 7(11p + 4k) = 7s ? z czego to przekształcenie 11 * 11k − 4 * 4k = 11(11k − 4k) + 7 * 4k ? oraz czy specjalnie napisałeś 7s czy to pomyłka i powinno być 7p?

Godzio: Nie pomyliłem: 11 * 11^k − 4 * 4^k = 11 * 11^k − 11 * 4^k + 7 * 4^k = 11(11^k − 4^k) + 7 * 4^k = [ korzystam z założenia ] = 11 * 7p + 7 * 4^k = 7(11p + 4^k) = 7s