Zbadaj przebieg zmienności podanych funkcji Kajol: Cześć! Musze wyznaczyć: dziedzinę, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne i wartości w tych ekstremach. 1) f(x)= x³−3x 2) f(x)= 2x³+4x²

	1−x
3) f(x)=
	1+x

	1
4) f(x)=
	1+x2

5) f(x)= xe^x

	1−x2
6) f(x)=
	1+x2

7) f(x)= ln(1−x²)

	1−x
8) f(x)= √
	1+x

	1−x
9) f(x)= ln
	1+x

10) f(x)= xe^−x 11) f(x)= ln(x²−1) 12) f(x)= √1−x²

Jack: zacznij od pochodnej, potem zastanów się kiedy f(x)=0, f'(x)>0, f'(x)<0

Kajol: No wiem, że należy wyznaczyć pochodną. Ale dalej nie umiem tego zrobić... Czy możesz mi wytłumaczyć to i zrobić po kolei jakiś jeden bądź dwa przykłady? Byłabym bardzo wdzięczna, bo totalnie tego nie kminie...

Godzio: Wybierz jakieś 2

Kajol: 8 i 10 proszę.

Godzio:

	1 − x
8. f(x) = √
	1 + x

1 + x ≠ 0 ⇒ x ≠ −1

1 − x
	≥ 0 ⇒ (1 − x)(1 + x) ≥ 0 ⇒ x ∊ <−1,1>
1 + x

D = (−1,1> f(x) = 0 ⇔ x = 1 ⇒ miejsce zerowe

	1		1 − x
f'(x) =		* (		)' =
	2 * √(1 − x)/(1 + x)		1 + x

	1		−1(1 + x) − 1(1 − x)
=		*		=
	2 * √(1 − x)/(1 + x)		(1 + x)2

	1		−2		1
=		*		= −		=
	2 * √(1 − x)/(1 + x)		(1 + x)2		√(1 − x) * (1 + x)2 − 1/2

	1
= −
	√(1 − x) * (1 + x)3/2

	1
f'(x) = 0 ⇒ −		= 0 ⇒ −1 = 0 ⇒ sprzeczność, brak ekstremum
	√(1 − x) * (1 + x)3/2

(tutaj ktoś lepszy musi się wypowiedzieć, bo niby ekstremum nie ma, ale f(1) mogło by być czymś) f'(x) > 0

	1
−		> 0 ⇒ −1 > 0 −− sprzeczność
	√(1 − x) * (1 + x)3/2

f'(x) < 0 ⇒ funkcja maleje ⇔ x ∊ (−1,1) 10. f(x) = x * e^−x D = R Miejsce zerowe: x = 0 f'(x) = (xe^−x)' = e^−x − x *e^−x = e^−x(1 − x)

	1
f'(x) = 0 ⇒ e−x(1 − x) = 0 ⇒ x = 1, f(1) = e−1 =		− minimum lokalne
	e

f'(x) > 0 ⇒ e^−x(1 − x) > 0 ⇒ funkcja maleje ⇔ x ∊ (−∞,1) f'(x) < 0 ⇒ funkcja rośnie ⇔ x ∊ (1,∞)

Godzio: W tym 8, ta 1 to chyba jednak będzie minimum

Kajol: A skąd się wzięło (1−x)(1+x)≥0

Godzio:

1 − x
	≥ 0 / (1 + x)2
1 + x

(1 − x)(1 + x) ≥ 0

Kajol: Aha ok. Dalej jak rozumiem robisz pochodną. A skąd się wzięło −1=0

Kajol: Nie bierzesz w ogóle mianownika pod uwagę

Godzio: Pomnożyłem przez mianownik

Kajol: Aha no tak. Ja rozumiem rozbijasz to na dwa przypadki. Mianowicie f(x)=0 i f(x)>0. Czy tak zawsze należy robić

Godzio: Zawsze f'(x) = 0 − to daje ekstrema (a właściwie kandydatów) f'(x) > 0 −− to daje przedział w którym funkcja jest rosnąca f'(x) < 0 −− to gdy funkcja jest malejąca Ja muszę już lecieć, w razie jakichś innych pytań będę wieczorem

Kajol: Teraz przykład 10. Skąd wiadomo, że miejsce zerowe x=0 Nie rozumiem rozwiązania pochodnej. Czemu w tym działaniu jest − e^−x − x *e^−x

Kajol: Tak dokładnie to chodzi mi o czemu masz minus między jedną a druga pochodną Przecież jak jest mnożenie to tam ma być +.

voltage: Jest tam plus, tylko pochodna e^−1x= −1e^−x. Stąd ten minus

Kajol: Aha. Dzięki wielkie.