Równanie Równanie: Jak rozwiązać zagadnienia początkowe równania różniczkowego? y''−6y'+9y=9x²−12x+2 , y(0)=1 , y'(0)=3

Jack: rozwiąż standardowo równanie różniczkowe, a na samym końcu mając już odpowiedź ( y(x)=c₁e^3x+c₂xe^3x+x²) podstaw warunki początkowe (dla drugiej danej musisz policzyć jeszcze pochodną i dopiero potem wykorzystać dane). Mi wyszło y(x)=e^3x+x²

Równanie: Prawą stronę ile razy pochodną mam liczyć?

Jack: ani razu... Najpierw rozwiąż równanie jednorodne, potem niejednorodne, a dopiero na końcu policz pierwszą pochodną wyniku.

Równanie: Chyba coś nie rozumiem... y''−6y'+9y=0 r²−6r+9=0 Δ=0 r=3 Ukl. fund.:y₁=c₁e^3x Rozw. ogólne: y=c₁e^3x Uzmienniać teraz stałą y=c₁e^3x ?

Ola: https://matematykaszkolna.pl/forum/95718.html

Jack: pierwiastek jest podwójny (k=2) więc układ fund. ma inną postać: y₁=c₁e^3x+c₂xe^3x

Jack: prościej będzie zgadywać: y₀=ax²+bx+c. Ale można oczywiście metodą uzmienniania stałej.

Jack: PS Nie bój się, mój wynik jest ok − sprawdziłem.

Równanie: Wytłumacz mi tylko, dlaczego pierwiastek jest podwójny skoro Δ=0 ? I na jakiej zasadzie się zgaduje, bo z tego co widziałem czasem y₀ jest postaci np. y₀=x²(Ax²+Bx+C). Od czego to zależy?

Jack: dlaczego pieriwastek jest podwójny, skoro Δ=0? Hmmm to wynika ze wzorów na pierwiastki,

	−b−√Δ		−b
x1=		=
	2a		2a

	−b−√Δ		−b
x2=		=
	2a		2a

Czyli x₁=x₂ − mówimy że pierwiastek jest podwójny. Jeśli chodzi o zgadywanie, to jest mnóstwo zasad − ciężko mi choćby część z nich tutaj przedstawić. Najprościej zerknąć np. do Krysickiego (choć on chyba skupia się na równaniach 1 rzędu). Niemniej, y₀=x²(ax²+bx+c) będziemy przewidywali, gdy po prawej stronie będzie wielomian stopnia 2 (stąd nawias − ax²+bx+c) oraz liczba 0 będzie 2−krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.

Równanie: Obliczyłem. Tylko do czego mam podstawić teraz y(0)=1 , y'(0)=3?

Jack: pierwsza daną ( y(0)=... ) do rozwiazania y(x), druga daną (y'(0)=... ) do pochodnej rozwiazania.

Równanie: Jeśli byś mógł tylko mi napisać jakie całki mam przewidywać w: a) y''+'=2(1−x) b) y''+y'=e^−x

Jack: a) napisz jeszcze raz b) równanie charakterystyczne ma pierwiastki w r=−1 (krotność 1) oraz r=0, dlatego całka przewidywana będzie miała postać: y₁=Ax¹e^−x

Równanie: a) y''+y=2(1−x)

Jack: a) r²+1=0 (r−i)(r+i)=0 r₁=i r₂=−i (dwa pierw. sprzężone) Przy jednorodnym przywidujesz: y₁=x^me^αx(P*cos(βx)+Q*sin(βx) ) gdzie z=α+βi jest m−krotnym pierwiastkiem r. ch−cznego. Przy niejednorodnym tak, jak wcześniej. Wieczorem zerknę jak Ci poszło − możesz napisać rozwiązanie

kika: bardzo fajna strona dzieki wam dostałam 5 z matmy dziękuje Wam

Równanie: Nie wiem dlaczego, ale tych równań różniczkowych nie mogę zrozumieć... Mam jeszcze do zrobienia 3 podpunkty i chyba będzie wielka klapa. Zatem przewiduje całkę y₁=x²e^0x(0*cosx−0*sinx) ?

Równanie: Jeśli byś mi pomógł w pozostałych, byłbym bardzo, bardzo wdzięczny. Praktycznie w każdym dochodzę tylko do rozwiązania ogólnego. 1) y''+y=2(1−x) r²+1=0 r₁=i lub r₂=−i Rozwiązanie ogólne: y=c₁cosx + c₂sinx I stoję w miejscu... 2) y''+y'=e^−x r²+r=0 r₁=0 lub r₂=−1 Rozw. ogólne: y=c₁+c₂e^−x Tutaj przewidujemy całkę y(x)=Axe^−x ? 3) y'''−3y''+3y'−y=e^xcosx (r−1)³=0 Rozw. ogólne: y=c₁e^x+c₂xe^x+c₃x^ex I znów tutaj mam problem. Jaką całkę przewidzieć? 4) y''+9y=3sin3x+2cos3x r²+9=0 r₁=3i lub r₂=−3i Rozw. ogólne: y=c₁cos3x+c₂sin3x Przewidujemy całkę y=Acos3x+Bcos3x? To już koniec. Z resztą zadań jakie miałem z równań jakoś sobie poradziłem. Tylko te 4 powyżej sprawiają mi trudności. Z góry bardzo Ci dziękuję za okazaną pomoc, Jack.

Równanie: Jack albo ktoś inny rzuci na to okiem?

Równanie: ?

Jack: przepraszam, nie miałem czasu ostatnio... Poradziłeś sobie? Polecam Ci cuś takiego: http://chomikuj.pl/Pirat5/Matematyka/*e2*96*baBiblioteka+opracowan+matematycznych Powinieneś znaleźć tam odpowiedzi na powyższe pytania i wiele przyszłych (dotyczących rrz oraz rrcz)