Równanie różniczkowe Bony: Równanie różniczkowe. Proszę o pomoc. 1) y'''−3y''+3y'−y=e^xcos2x 2) y''+3y'=3xe^−3x

Aga:

Bony: Pomoże ktoś?

Tomek.Noah:

	1
czy wynik to y=		e−3x(3x+2)
	9

Tomek.Noah: w drugim przykladzie oczywscie

Bony: Mógłbyś napisać krok po kroku przynajmniej jeden przykład?

Bony: ?

Bony: :(

Jack: jeśli do wieczora nikt Ci nie pomoże, pokażę Ci jak to należy zrobić.

Bony: Mam trochę tych zadań... Będę wdzięczny za każdą otrzymaną pomoc.

Bony: Jack pomożesz?

Bony:

Jack: b) y''+3y'=3xe^−3x (⬠) I. równanie jednorodne (wielomian ch−czny) r²+3r=0 r(r+3)=0 r₁=0, k₁=1 r₂=−3, k₂=1 Zatem: y₀(x)=C₁e^0x+C₂e^−3x=C₁+C₂e^−3x II. równanie niejednorodne (metoda zgadywania) Skoro jedynym z pierw. wielomianu ch−cznego jest r=−3 oraz potęga przy e^−3x również jest równa −3, to szukamy rozwiązanie równania takiej postaci: y₁(x)=x(ax²+bx+c)e^−3x. Mamy więc: y₁(x)=(ax³+bx²+cx)e^−3x Policzmy pierwszą pochodną po x.

	dy1
−		=(3ax2+2bx+c)e−3x−3(ax3+bx2+cx)e−3x
	dx

oraz drugą:

	d2y1
−		= (6ax+2b)e−3x− 3(3ax2+2bx+c)e−3x −
	dx2

3(3ax²+2bx+c)e^−3x+9(ax³+bx²+cx)e^−3x Teraz podstawiamy do wyjściowego równania (⬠) i po żmudnych rachunkach dostajemy szukane współczynniki: a=0, b=−1/2, c=−1/3 Stąd mamy postać rozwiązania szczególnego: y₁(x)=(−1/2x²−1/3x)e^−3x Ostatecznie więc: y(x)=C₁+C₂e^−3x+ (−1/2x²−1/3x)e^−3x (powinno być dobrze... sprawdzałem dwa razy) w a) zauważ już na początku, że jednym z pierw. równania ch−cznego będzie x=1, który jest równy potędze e^1*x.