geometria analityczna Rene: 1) Boki trójkąta ABC zawierają się w prostych o równaniach: x+y−3=0, x−y−1=0, 9x−y−7=0 a) znajdź współrzędne wierzchołków A, B, C tego trójkąta b) wykaż, że ten trójkąt jest prostokątny c) oblicz pole trójkąta 2) Prosta x−2y+2=0 przecina okrąg x²+y²−6x−16=0 w punktach A i B. Napisz równanie okręgu symetralnej cięciwy AB.

Rivi: 1. a) szukasz punktów przecięcia jednej prostej z dwoma pozostałymi − i masz trzy wierzchołki. b) proste mają równaniu y=−x+3 oraz y=x−1 a₁*a₂=−1 więc jest pomiędzy nimi kąt prosty − tam gdzie trójkąta

	1
c) liczysz długości przyprostokątnych i		*AB*AC (jak A to wierzchołek przy kącie prostym)
	2

Gustlik: ad a) { x+y=3 { x−y=1 + −−−−−−−−−−−−−−−−−− 2x =4 /:2 x=2 2+y=3 y=1 A={1, 1} { x+y=3 {9x−y=7 + −−−−−−−−−−−−−−−−−−− 10x=10 ?:10 x=1 1+y=3 y=2 B=(1, 2) { x−y=1 {9x−y=7 − −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −8x=−6 /:(−8)

	6		3
x=		=
	8		4

3
	−y=1 /*4
4

3−4y=4 −4y=1 /:(−4)

	1
y=−
	4

	3		1
C=(		, −		)
	4		4

Gustlik: ad b pr. k x+y−3=0 y=−x+3 pr. l x−y−1=0 −y=−x+1 y=x−1 pr. m 9x−y−7=0 −y=−9x+7 y=9x−7 Proste k i l są prostopadłem bo ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek a₁*a₂=−1, zatem trójkąt jest prostokątny.

Gustlik: ad c) 1. Oblicz współrzędne wektorów AB^→ i AC^→, wzór jest taki: AB^→=[x_B−x_A, y_B−y_A], czyli od współrzednych końca odejmujesz współrzędne początku. 2. Oblicz wyznacznik wektorów d(AB^→, AC^→).

	1
3. Oblicz pole trójkąta z wyznacznika wektorów P=		|d(AB→, AC→)|.
	2

Opis tej wektorowej metody obliczania pola jest tutaj: https://matematykaszkolna.pl/forum/forum.py?komentarzdo=i18 . Jeżeli czegoś nie wiesz, to pisz, będę na forum wieczorem.

Gustlik: ad 2) 1. Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu wg wzorów zamieszczonych tutaj: https://matematykaszkolna.pl/forum/forum.py?komentarzdo=1471 , przy czym brakujące współczynniki traktujesz jak równe 0. 2. Skorzystaj z zasady, ze symetralna każdej cięciwy okręgu ZAWSZE przechodzi przez jego środek, przekształć zatem równanie prostej zawierającej cięciwę podane w zadaniu do

	1
kierunkowego, czyli do funkcji liniowej i z warunku prostopadłości a2=−		wyznacz
	a1

funkcję liniową prostopadłą do tej prostej i przechodzącą przez środek tego okręgu − wstaw współrzędne środka wyznaczone w pkt. 1.