Udwodnij, że zachodzi nierówność. Sylwia: Udowodnij, że ¹_2³+ ¹_3²+¹_4²+...¹_100²<⁹⁹₁₀₀ W ogóle nie wiem jak się za to zabrać!

Sylwia:

Jack:

	1
porównawcze z szeregiem ∑n=2100		.
	n(n−1)

Powinno ładnie wyjść...

Jack:

	1		1		1
no i oczywiscie wzorek:		=		−		.
	n(n−1)		n−1		n

Sylwia: hehe no dobra może dam radę tylko że jestem w 3 gimnazjum no ale nic będę próbować....

Sylwia: i jeszcze jedno, to nie ma znaczenia, że tam na początku jest do trzeciej potęgi?

Sylwia: i na pewno nie da sie tego jakoś prościej zrobić? Tak żebym ja dała redę to zrobić...

Vax:

	1		1
Pewnie literówka, jeżeli nie, to po prostu zauważ, że		<		rozpisując mamy:
	23		22

1		1		1		1		1		1
	+		+ ... +		<		+		+...+		=
22		32		1002		1*2		2*3		99*100

	1		1		1		1		1		1		99
1−		+		−		+...+		−		= 1 −		=
	2		2		3		99		100		100		100

Pozdrawiam.

Sylwia: Nie obczajam, ale to nie ważne i tak wielkie dzięki

Vax: Ale czego konkretnie nie rozumiesz ? Postaram się wytłumaczyć.

Jack: hmm... zaskoczyłaś mnie tą 3. gimnazjum Potęga 3 przy pierwszym wyrazie niczego nie zmienia. Rozpisujemy oba szeregi i zauważamy, że odpowiedni wyraz pierwszego szeregu jest mniejszy od wyrazu drugiego szeregu. Zatem zachodzi nierówność:

1		1		1		1		1
	+		+		+		+...+		<
23		32		42		52		1002

1		1		1		1		1
	+		+		+		+...+
2*1		2*3		3*4		4*5		100*99

Teraz korzystamy ze powyższego wzorku i mamy, że

1		1		1		1		1
	+		+		+		+...+		=
2*1		2*3		3*4		4*5		100*99

	1		1		1		1		1		1		1		1
=(		−		)+(		−		)+(		−		)+...+		−		=
	1		2		3		4		4		5		99		100

1		1		99
	−		=
1		100		100

Zauważ, że rozpisując te wyrazu w nawiasie sporo ich CI się skróci.

Sylwia: no tak mniej więcej po < tym znaku no bo niby skąd to wiem, że tak jest ?

Sylwia: o jest coraz lepiej układa mi się w główce

Jack: Zjadłem jeden nawias

	1		1		1		1		1		1		1		1
....=(		−		)+(		−		)+(		−		)+...+(		−		)=
	1		2		2		3		3		4		99		100

	1		1		99
=		−		=
	1		100		100

Sylwia: Dzięki Wam Bardzo

Piotrek: A widzicie okazało się, że w zadaniu rzeczywiście jest błąd i ma być 2², a nie 2³