11 maj 20:31
slssls: up
11 maj 21:12
Sabin:
Eta, co Ty na to? Tylko tak dowód − dowód, a nie przekształcanie stron...
Ja na razie umiem pokazać, że to jest ≥ 5...
11 maj 21:41
Sabin: Oooo, chyba mam
11 maj 21:49
slssls: i jak?
11 maj 21:58
Sabin:
No mam, ale nie do końca, bo musiałbym skorzystać z tego, czego chcę uniknąć...
| | 1 | |
Pozostaje mi sobie przypomnieć, jak wykazać, że t + |
| ≥ 2 dla t > 0... |
| | t | |
11 maj 22:01
Sabin:
Aaaa, dobra tam. Zrobię po szkolnemu...
Na początek wykażemy że suma liczby dodatniej i jej odwrotności jest ≥ 2.
t +
1t ≥ 2 /*t
t
2 + 1 ≥ 2t
t
2 − 2t + 1 ≥ 0
(t−1)
2 ≥ 0
co oczywiście jest prawdą dla każdego t ∊ R
Wracając do zadania (będzie dużo rozbijania ułamków):
| 1 | | 1 | | 1 | | a+b+c | | a+b+c | | a+b+c | | b+c | |
| + |
| + |
| = |
| + |
| + |
| = 1 + |
| + 1 +
|
| a | | b | | c | | a | | b | | c | | a | |
| | a+c | | a+b | | b | | c | | a | | c | | a | | b | |
+ |
| + 1 + |
| = 3 + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| = |
| | b | | c | | a | | a | | b | | b | | c | | c | |
| | b | | a | | c | | a | | c | | b | |
porządkujemy... = 3 + ( |
| + |
| ) + ( |
| + |
| ) + ( |
| + |
| )
|
| | a | | b | | a | | c | | b | | c | |
| | b | | a | |
Zauważ, że |
| oraz |
| i tak dalej są liczbami do siebie odwrotnymi, czyli korzystając |
| | a | | b | |
z tego co sobie wykazaliśmy na początku, możemy stwierdzić, że
skąd:
| b | | a | | c | | a | | c | | b | |
| + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| ≥ 6
|
| a | | b | | a | | c | | b | | c | |
A to oznacza, że
| | b | | a | | c | | a | | c | | b | |
3 + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| ≥ 9
|
| | a | | b | | a | | c | | b | | c | |
c.b.d.o.
11 maj 22:11
Sabin: ... dla każdego t ∊ R+ oczywiście...
11 maj 22:12
slssls: ooooo dzieki
D 4h nad tym siedziąłem
11 maj 22:17
Rivi: No proszę, i nawet bez wiedzy że a+b+c=1 się udało, gratuluję
11 maj 22:24
Rivi: Ach, jednak z tą wiedzą
Aj późno
11 maj 22:26
Sabin:
Przecież tę wiedzę wykorzystałem przy (naj)pierwszym przekształceniu...
11 maj 22:26
kamis:
A czy można by było tak rozwiązać:
| | 1 | | 1 | | 1 | | 3 | |
Średnia harmoniczna liczb |
| , |
| , |
| : |
| = 3 |
| | a | | b | | c | | a + b + c | |
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
Średnia arytmetyczna liczb |
| , |
| , |
| : |
| ( |
| + |
| + |
| ) |
| | a | | b | | c | | 3 | | a | | b | | c | |
Średnia arytmetyczna jest zawsze większa bądź równa średniej harmonicznej, czyli w naszym
wypadku średnia arytmetyczna jest większa bądź równa 3.
Przekształcając równanie:
| 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
| ( |
| + |
| + |
| ) ≥ 3, co na mocy powyższego stwierdzenia jest prawdą. |
| 3 | | a | | b | | c | |
?
11 maj 22:35
Sabin: Jak najbardziej, z tym że twierdzenia o średnich to dopiero na studiach
11 maj 22:36
