trapez PoMoCy;(((: W trapez równoramienny o ramieniu długości 5 i wysokości 3 wpisano okrąg. Omlicz: a) pole tegotrapezu b) długość dłuższej podstawy trapezu c) długość przekątnej trapezu.

Basia: rozwiązuję

Basia: ABCD trapez S - środek okręgu wpisanego M,N,K,L - punkty styczności z okregiem na AB, BC, CD, AD trójkaty AKS i ANS są przystające ( prostokatne, wspólna przeciwprostokatna i KS = NS ) stąd AK = AN trójkaty BKS i BLS sa przystające do siebie i do w.w. (uzasadnienie jw.) stąd: AK = AN = BK = BL = y analogicznie z trójk. DNS, DMS, CMS i CLS pokazujemy, że4 CL = CM = DM = DN = x x+y - ramię x+y = 5 x = 5 - y 2x - podstawa górna 2y - podstawa dolna rysujemy wysokość CC₁ C₁B = (2y-2x)/2 = y-x = y - (5-y) = 2y - 5 (2y-5)² + 3² = 5² 4y² - 20y + 25 + 9 = 25 4y² - 20y + 9 = 0 Δ = (4*5)² - 4*4*9 = 4*5*4*5 - 4*4*9 = 16(25-9) = 16*16 = 16² √Δ = 16 y₁ = (20-16)/8 = 4/8 = 1/2 x₁ = 5 - 1/2 = 9/2 y₂ = (20+16)/8 = 9/2 x₂ = 5 - 9/2 = 1/2 przy przyjętych oznaczeniach y>x czyli: x = 1/2 y=9/2 podstawa dolna a = 2y = 9 podstawa górna b = 2x = 1 P = (a+b)*h/2 = (9+1)*3/2 = 5*3 = 15 d = BC - przekatna trapezu <BAD = <ABC cos(<ABC) = (y-x)/5 = (9/2-1/2)/5 = 4/5 z tw.cosinusów d² = 5² + 9² - 2*5*9* cos(<BAD) = 25 + 81 - 90*cos(<ABC) = 106 - 90*(4/5) = 106 - 18*4 = 106 - 72 = 34 d = √34

Eta: A ja liczyłm tak: długość odcinka x -- odciętego przez wysokość na dolnej podst. z tw. Pitagorasa x² = k² - h² k =5 --- ramię tr. h= 3 to x² = 25 - 9 = 16 to x =4 Okrąg wpisany , czyli trapez opisany więc: sumy boków przeciwległych są równe( w-k opisania trapezu na okregu) czyli k +k = a +b gdzie a = b +2x czyli a = b +8 to b+8 +b = 10 to 2b = 2 to b=1 b= 1 to a = 1 +8 = 9 Pole oczywiście P=( a+b)/2 *h to P= 15 cosα= x/k cosα= 4/5 z tw. cosinusów ( podobnie jak liczyła Basia) d² = 9² +5² - 2*5*9*4/5 d² = 34 to d=√34 w/g mnie mniej obliczeń do wyznaczenia długości podstaw a i b Podoba się ?

Eta: Zobacz Basia jak ja to rozwiązałam ?

Basia: jasne; pod warunkiem, że się umie udowodnić, że sumy boków przeciwległych są równe; myślisz, że umieją?; ja po prostu tego właśnie dowodzę; niewykluczone, że niepotrzebnie; zresztą na temat liczby twierdzeń, które każe się im obecnie pamiętać, zamiast po prostu pomyśleć i policzyć (wysokość tr.równobocznego, pole itd) mam bardzo złe zdanie; oni tych twierdzeń nie pamiętają bo jest ich 10 razy za dużo (ja ich zresztą też nie pamiętam), a myślenia zamiast używania tych setek wzorów i twierdzeń nikt ich nie nauczył (i już nie nauczy, za późno)