Help!! Wyznacz przedział monotoniczności i extrema lokalne angela: Help Wyznacz przedział monotoniczności i extrema lokalne: y=ln2x−x² Ja to zrobiłam tak i nie wiem czy dobrze: y`=(ln2x−x<sup>2</sup>)` (ln2x−x²)`=(1/2x−x<sup>2</sup> * 2x−x<sup>2</sup>) * (2−2x) = 2−2x y`=2−2x y`=0 <=> 2−2x=0 2−2x=0 x=1 i co dalej Proszę o pomoc

Bogdan: y = ln(2x) − x² czy y = ln(2x − x²) czy jeszcze inaczej?

angela: nie, tak jak napisałam ma być

angela: to jak

Sabin:

	2
Pochodna tego co napisałaś wychodzi		− 2x.
	2x

angela: a skąd Ci się wzięła ta 2 w liczniku?

angela: ponieważ f(x)=lnx f`(x)= 1/x czy do licznika bierzemy, to co stoi przy x ?

Sabin:

	1		1		2
Stąd, że pochodna ln2x to		*(2x)' =		*2 =
	2x		2x		2x

angela: gdyby wyszło mi, że moja pochodna nie równa się 0 (jak podstawię za x 0) to kończę zadanie i piszę brak rozwiązania?

Sabin: Po pierwsze za x zera nie podstawisz, bo 0 nie należy do dziedziny pochodnej. Po drugie rozwiązujesz równanie f'(x) = 0 a nie za x podstawiasz zero.

angela: zastanawiam się jeszcze dlaczego tak to rozdzieliłaś, że obliczyłaś pochodną ln2x , a potem osobno x² <myśli>

angela: bo wg mnie wnętrze to 2x−x² ... czyli w mianowniku powinno być jeszcze to −x²

angela: aaa chyba już wiem ... użyłaś tu tego wzoru : [f(x) − g(x)] ` = f`(x) − g`(x)

Sabin: ...−eś, nie −aś. Na początku Bogdan zadał Ci pytanie, jaki jest prawidłowy zapis Twojej funkcji. Twoja odpowiedz wskazuje (poniekąd) że pod logarytmem jest wyłącznie 2x. Chcesz coś poprawić?

angela: nic w zapisie nie chcę zmienić ... profesor podał nam dokładnie taką funkcję, jak napisałam na samym początku, przepraszam za końcówkę −aś

Sabin: No to przyrównaj otrzymaną pochodną do zera i oblicz x (dwa wyjdą).

angela: kurczę ... obliczam tą pochodną ln2x i mi co innego wychodzi tzn: y= ln2x korzystam ze wzoru [f(g(x))]` = 1/x*2x * (2x)` = 2x/x * 2 = 4x/x

Sabin: Źle korzystasz ze wzoru Prawidłowo jest tak:

	1
( ln(cokolwiek) )' =		*(cokolwiek)'
	cokolwiek

angela: wielkie dzięki

angela: to spróbuję to jeszcze raz od początku rozwiązać i sprawdzisz czy dobrze ? Może to mi trochę zająć

Sabin: OK

angela: zrobiłam na razie tyle: y = ln2x − x² ( i tak w głowie to sobie obrazuję jako y = a − b)

	1		2
y` =		* (2x)` − 2x =		− 2x
	2x		2x

	2
y`= o <=>		− 2x = 0
	2x

2		4x2
	−		=0
2x		2x

−4x2 + 2
	=0
2x

2x(−2x+2)
	=0
2x

−2x+2=0 −2x=−2 x=1

angela: i nie wiem co dalej

angela: zrobiłam byka już poprawiam

Sabin: Masz błąd w liczniku, nie wyciągniesz 2x z −4x² + 2, bo wtedy musiałoby być 2x(−2x + ²_2x) − wymnóż swoje i moje jeśli nie widzisz. Powinnaś rozwiązać −4x² + 2 = 0 A tak w ogóle, to zacznijmy od tego, że powinnaś wyznaczyć DZIEDZINĘ funkcji

angela: ok, wyszło mi −4x⁺2=0

angela: tzn. − 4x² + 2 = 0 ponieważ U2}{2x} − 2x = 0

2		4x2
	−		= 0
2x		2x

−4x2 +2
	= 0 / * 2x
2x

−4x^x+2 = 0

angela: osobiście dziedziny unikam jak ognia, bo od paru lat ciągle zapominam jak to się robiło

Sabin: No to lepiej zacznij się z nią oswajać, bo to absolutnie podstawowa sprawa przy jakichkolwiek poważniejszych zadaniach Tu Twoja dziedzina funkcji: 2x > 0 czyli x > 0. Dziedzina pochodnej − analogicznie. No i co z rozwiązaniem równania −4x² + 2 = 0? Rozwiąż je, uważając na dziedzinę.

angela: mam takie coś : Δ=b² − 4ac Δ= −4 * (−4) *2 = 32 √Δ = √32 = √4*8 = 2√8

	−b−√Δ		−b+√Δ
x1 =		x2 =
	2a		2a

	−2√8		2√8
x1 =		x2 =
	−8		−8

	2√8		2√8
x1 =		x2 =
	8		−8

Sabin: E−e Jeśli masz wzór ogólny w postaci ax² + bx + c, a u Ciebie jest −4x² + 2, to ile wynosi a, b i c? Popodstawiaj i popraw...

Sabin: A nie, przepraszam, ok jest. Sekundke, trochę mam na głowie...

angela: a = −4 b = 0 c = 2

Sabin: Dobra, poskracaj to dalej (√8 = 2√2), skróć licznik z mianownikiem i sprawdź otrzymane wyniki z dziedziną pochodnej.

angela: min lokalne to x₁, a max lokalne to x₂ ... dobrze?

angela: fakt

angela:

	√2		√2
f. maleje w przedziałach (− ∞ ,		) ; (		, + ∞)
	−2		2

	√2		√2
f. rośnie w przedziale (		,		)
	−2		2

Sabin: Prawie OK. Co z uwzględnieniem dziedziny?

angela:

angela: nie mam zielonego pojęcia

angela: Nigdy się tej dziedziny nie nauczę

Sabin: Dziedzina funkcji to przedział (0, +∞). Weź część wspólną rozwiązania i dziedziny.

angela: I co mi to da?

angela: maleje w przedziale ( √2/2, +∞) rośnie (0, +∞) ?

angela: a nie przepraszam, rośnie od 0 do √2/2

Sabin: To, że nie możesz rozpatrywać dla tej funkcji przedziałów o wartościach ujemnych, gdyż po prostu liczb ujemnych nie możesz wstawiać do wzoru funkcji (pod logarytmem mogą być tylko liczby dodatnie). Oznacza to tyle, że funkcja rośnie nie w takim przedziale jak podałaś, a w przedziale

	√2		√2
(0,		), maleje zaś w przedziale (		, +∞). Maksimum jest ok, natomiast Twojego
	2		2

	√2
minimum NIE MA W OGÓLE, gdyż x = −		NIE należy do dziedziny.
	2

Dziedzina − to "dozwolony" zbiór x−ów, tak bardzo kolokwialnie mówiąc.

Sabin: Dokładnie jak napisałaś

angela: dziękuję za pomoc, jeszcze raz sobie to wszystko przeanalizuję. Bardzo dziękuję za pomoc ... idę zabrać się za granice

angela: A tak spytam ... jesteś jakimś wykładowcą ? Poziom Twojej wiedzy jest przeogromny !

Sabin: Daj spokój, to jest wiedza którą każdy licealista musiał opanować 10 lat temu... Powodzenia z granicami!

angela: A student się linczuje przy zadaniach w dniu dzisiejszym

angela: Dzięki ... pewnie znowu coś tu wrzucę z granic, bo miałam parę wątpliwości jak się uczyłam ostatnio. Ale to już inny temat. Miłego dnia !

Sabin: Jeszcze jedna uwaga, powinnaś wyznaczyć WARTOŚĆ funkcji dla tego maksimum które znalazłaś. Inaczej mówiąc, powinnaś podstawić ten x do wzoru FUNKCJI (nie pochodnej) i wyliczyć y. Pozdrawiam!

angela: Właśnie nad tym myślałam