Mając X oraz Y wyznacz : Hania: StatystykA: X~N (50;7²). Wyznacz a) P(X<60) b) P(X<37) c) P(43<x<57) d) P(36<X<64) e) P(29<X<71) f) P (37<X<60) g) P (X>59) h) P (X>39) Czy Ktoś mogłby to rozwiązac? Ale nei chodzi mi tylko o rozwiązanie, chciałabym także by Ktoś mi pokazał w jaki sposób to zrobić, bo ja nie mam zielonego pojęcia

Sabin: Zrobię Ci po jednym z każdego "typu", czyli a, c i g.

b.:

	X−50
X~N (50;72) => X−50 ~ N(0;72) =>		~ N(0;1)
	7

i teraz

	X−50		10
P(X<60) = P(X−50 < 10) = P(		<		)
	7		7

	X−50
i to już odczytujesz z tablic, bo		ma rozkład N(0,1)
	7

reszta przykładów podobnie, np. P(43<X<57) = P(X<57) − P(X≤43) = P(X<57) − P(X<43) i dalej jw. + tablice

Hania: a czy mogłabyś mi wytłumaczyć wszystko pokoleji jak "chłop krowie na miedzy " ? zaczynaaj od tego skąd się wzieło to: X−50 X~N (50;72) => X−50 ~ N(0;72) => 7 ~ N(0;1)

Sabin: To jest tzw. proces standaryzacji, a robisz to po to, że wartości dystrybuanty (to taka funkcja postaci P(X < coś)) rozkładu N(0,1) są stablicowane − mówiąc krótko, możesz je odczytać z tablic. Proces standaryzacji wygląda tak (zmienną nazwiemy U): U = U{wartość − średnia}{odchylenie std.} U Ciebie X~N(50,7²) oznacza: "średnia": 50 "wariancja": 7², czyli odchylenie (pierwiastek z wariancji) = 7 "wartość" − to jest ta liczba po znaku nierówności (np. w a/ wartością jest 60) Standaryzacji "dokonujesz po obu stronach nierówności" − tak jak przekształcanie wzorów w matematyce. Czyli

	X − 50		60 − 50		10
P(X < 60) = P(		<		) = P(U <		) = P(U < 1,429)
	7		7		7

I teraz w tablicach dystrybuanty (jeśli masz, jeśli nie − są np. tu: http://www.mimuw.edu.pl/~mbodnar/msos/rozklady.pdf) szukasz pozycji 1,429 (albo najbliższej, jeśli do 2 miejsc to 1,43) − i tam jest podana wartość (0,92364) Czyli P(X < 60) = 0,92364 Podpunkt b − analogicznie, w podpunktach c, d, e korzystasz z własności którą napisał Ci b.

Sabin:

	wartosc − srednia
Ucięło mi coś. Proces standaryzacji: U =
	odchylenie std

Hania: dziekuje bardzo, juz rozumiem mniej wiecej ale nie moge tej tablicy otworzyć ... czy tablica dystrybuanty to to samo co rozkład normalny?

Sabin: Co do podpunktów g oraz h, to nie liczysz P(X > 59) (bo dystrybuantę definiuje się P(X < ...) a nie P(X > ...)). Korzystasz z zależności P(X > a) = 1 − P(X ≤ a). Czyli liczysz tak: P (X > 59) = 1 − P(X ≤ 59) a to już liczysz normalnie − tak jak poprzednio (nie zapomnij na końcu odjąć od 1). Nie ma róznicy dla wyniku czy policzysz P(X < ...) czy P(X ≤ ...).

Sabin: Hmmm... rozkład to rozkład a tablice to tablice... Inna tablica jest np. tu: http://www.math.tau.ac.il/~eronshir/Probability%20for%20Sciences%202011A/NormalDistributionTable.jpg

Hania: ok, ale ja nie mam pojcia jak sie to sprawdza, na to mam w 1 kolejnosci patrzec na te liczby po lewej czy oprawej

Hania: 10 ale przeciez __ to nie : 1,429 tylko : 1,428 7

Sabin: 10/7 to ani 1,429 ani 1,428 tylko 1,4285(coś tam dalej) Ponieważ po 8 jest 5 zaokrąglam w górę do 9, a zaokrąglając jeszcze bardziej − do 2 miejsc wychodzi 1,43. Ale to detal. Jak czytać tablice? W pionie masz wartości przed przecinkiem i jedno miejsce po nim. W poziomie masz wartości na 2 miejscu po przecinku. Czyli chcąc odczytać wartość dla 1,43 szukasz w pionie 1,4 zaś w poziomie 0,03 − i patrzysz jaka liczba stoi na przecięciu.

Hania: dZiekuje a powiesz mi jeszcze czemu akurat w poziomie odczytuję wartosc 0,03 ? Zawsze ją odczytuje

Sabin: Ponieważ tak po prostu są skonstruowane te tablice. Odczytujesz to tak jak trzeba − czyli jeśli np. miałabyś odczytać wartość dla 0,68 − to w pionie szukasz 0,6 a w poziomie 0,08 i patrzysz na przecięcie.

Hania: aha czyli rozumiem ze chodzi o liczbę po przecinku?

Sabin: No jakoś tak. Dla 0,68 wynik to 0,7517 − mozesz sprawdzic.

Hania: rzeczywiscie

Sabin: To chciałbym, żebyś zrobiła przykład b) − omówimy sobie od razu, jak sobie z czymś takim radzić (przy odczytywaniu z tablic).

Hania: P(x<37) = P (U < −1,86), − bo 37 − 50\ 7 = −1,86 odczyt z tablicy: 0,9686. Tylko powiem, że jest to zły wynik, poniważ mam przed sobą te zadania i wykładowca dał nam do nich odpowiedzi (niestety nie wiem jaka jest prawidłowa, bo podał "porozrzucane" odpowiedzi, nie wiadomo jaka dotyczy jakiego podpunktu, nie pokoleji podał i teraz też patrze ze tej Twojej odp u niego też tam nie ma

Sabin: No właśnie i tu wpadłaś. Te tablice (w ogóle większość tablic jakie znajdziesz w necie) podają tylko wartości dla dodatnich argumentów − mówiąc inaczej, nie masz tam wartości dla −1,86, a jedynie dla 1,86. Wtedy musisz skorzystać z zależności: gdy a ujemne to P(U < a) = 1 − P(U < −a) Czyli u Ciebie: P(U < −1,86) = 1 − P(U < −(−1,86)) = 1 − P(U < 1,86) = 1 − 0,9686 = 0,0314 Co do a) to tam nie ma za bardzo gdzie się pomylić...

Hania: ale takiego wyniku tez nie ma... moze ja wysle całe zadanie poporstu jakoś tutaj wkleje ok

Sabin: Wrzuć na jakiś serwer i podrzuć linka.

Hania: http://www.domurat.edu.pl/dyd/statystyka/Domurat_treningowe_1_15.pdf to jest strona z tym zadaniem, to jest zadanie numer 3, i tak patrze ze nie ma tu ani moich ani Twoich odp

Sabin: No to stawiam, że to są odpowiedzi 0,031645 oraz 0,923436 − po prostu facet ma trochę dokładniejsze tablice...

Hania: aha dziekuje naporawde jeszcze porobie te z dwoma liczbami

Hania: nie mam pojecia jak zrobic np to: P (43< X <57), mogłabyś mi to szybko wytłumaczyc? teraz juz wiem o co chodzi tlyko nei wiem jak sie za to zabrac

Sabin: Zgodnie z tym co b. wyżej napisał, P(43 < X < 57) = P(X < 57) − P(X < 43). Policz osobno każde prawdopodobieństwo, podstaw i wyjdzie.

Hania: okej

Hania: pierwsze pytanie: czy zawsze odejmuje wiekszą wartosc od mniejszej? czemu nie zastosowano np 43 − 57? drugie: czy to jest dobrze:

Sabin: Odpowiedz na pierwsze: tak

Hania: P(u<1) − P (U< − 1) 0,8413 − ( 1−0.8413) = 0,6826

Sabin: Tak

Hania: a mam jeszcze jedno pytanie, poniwaz w nawiasie jest 7², a widze u siebie jeszcze jeden przykład: X~B (250; 0,7) co z liczba 0,7, czy muszę przedstawić go jako wariancję?

Sabin: Nie. Każdy rozkład jest charakteryzowany przez pewne parametry − i najczęściej za każdym razem oznaczają one ZUPEŁNIE co innego! Zapis X ~ coś tam oznacza: zmienna X ma rozkład (odpowiednia nazwa) X ~ N − znaczy X ma rozkład normalny − a rozkład normalny charakteryzuje średnia oraz wariancja X ~ B to, jeśli dobrze się domyślam, rozkład Bernoulliego charakteryzowany przez n − liczbę obserwacji oraz p − prawdopodobieństwo. W tym zadaniu pewnie jakieś twierdzenie trzeba zastosować o zbieżności rozkładu Bernoulliego do rozkładu normalnego, ale niestety nie mogę Ci dalej pomóc gdyż uciekam z... roboty Może późnym wieczorem, o ile ktoś mnie nie uprzedzi.

Hania: dobrze, dziekuje bardzo za Twoja pomoc

roman: Witam. Chciałbym przyłączyć się do wątku. Zadanie mam takie: dwóch biegaczy biegnie do punktu A w taki sposób, że biegacz 1 potrzebuje na to 90 sekund z odchyleniem standardowym 27 sek natomiast biegacz 2 potrzebuje 100 sekund z odchyleniem standardowym 30 sekund. Pytanie: obliczyć prawdopodobieństwo, że biegacz 2 przybędzie do punktu spotkania PRZED biegaczem 1. Podszedłem do problemu tak: biegacz 2 ma najkrótszy czas biegu 100−30 = 70 sekund, biegacz 1 ma najdłuższy czas biegu 90+27 = 117 sekund. Szukam wiec prawdopodobieństwa P(70<X<117) Dla drugiego biegacza po standaryzacji mam: t₁ = (70−100)/30 = −1 a ponieważ f(−x) = 1−f(x) to Φ(t₁) = 1−0.8413 = 0.1587 t₂ = (117−100)/30=0.566 stad Φ(t₂) = 0.7122 P(70<X<117) = Φ(t₂) − Φ(t₁) = 0.7122−0.1587 = 0.55 czyli prawdopodobieństwo że biegacz 2 przybędzie przed biegaczem 1 do punktu spotkania wynosi 55% Proszę o weryfikacje czy dobrze problem został rozwiazany Dziekuje