Dobrac....
lonlii: Dobrać tak parametry a i b, aby funkcja f dana wzorem
arctg1/x dla x<0
f(x) a dla = 0
b+ arctg1/x dla x >0
była ciągła na zbirze R
niemam pojecia jak sie takei zadania robi prosze o pomoc mistrzow matmy
Bogdan:
Funkcja f(x) jest ciągła w x
o <=> lim f(x) = f(x
o)
x→x
o
To znaczy, że funkcja f(x) jest ciągła w x
o wtedy, gdy spełnione są jednocześnie
3 warunki:
1. istnieje
f(xo), czyli w x
o € D
f;
2. istnieje granica właściwa
g w x
o, czyli granica lewostronna = granica
prawostronna
w tym punkcie;
3. wartość funkcji w x
o jest równa granicy w x
o, czyli f(x
o) = g.
Tyle wstępu. Wracamy do zadania.
Wykonujemy działania opisane w punktach 1, 2 i 3.
1. 0 € D
f oraz f(0) = a.
2. lim f(x) = -π/2 (wyjaśnienie (*) w dalszej części rozwiązania)
x→0
-
lim f(x) = b + π/2
x→0
+
Funkcja jest ciągła w x = 0 wtedy, gdy te granice są równe, więc -π/2 = b + π/2.
Stąd b= -π i lim f(x) = -π/2
x→0
3. f(0) = -π/2 <=> a = -π/2
Odp.: a = -π/2, b = -π
(*)
Weźmy funkcję f(x) = ctgx w przedziale (-π/2, π/2) \ {0}.
Możemy teraz tę funkcję wyrazić w postaci: f(x) = 1/tgx.
Dla tak określonej funkcji wyznaczamy funkcję do niej odwrotną.
y = 1/tgx → tgx = 1/y → x = arctg(1/y) → f
-1(x) = arctg(1/x)
Widzimy, że występująca w zadaniu funkcja f(x) = arctg(1/x) jest funkcją odwrotną
do funkcji f(x) = ctgx określonej dla x € (-π/2, π/2) \ {0}.
Pięknie