Indukcja matematyczna, wykaz że liczba podzielna przez 11 dymass: Wykaż że dla każdej liczby naturalnej n, liczba postaci 2⁶ⁿ⁺¹ + 9ⁿ⁺¹ jest podzielna przez 11. kto pomoże nie moge przebrnąć przez dowód

Bogdan: 1. Sprawdzenie dla n = 1: 2⁷ + 9² = 128 + 81 = 209 = 11 * 19. Można sprawdzać dalej, dla n = 2, dla n = 3, ... , dla n = k 2. Założenie: liczba 2^{6k + 1} + 9^{k + 1} jest podzielna przez 11, czyli 2^{6k + 1} + 9^{k + 1} = 11 * a, a € N Stąd 2^{6k + 1} = 11a - 9^{k + 1}. 3. Przyjmujemy tezę, że podana liczba jest podzielna przez 11 dla n = k + 1, czyli 2^{6(k + 1) + 1} + 9^{(k + 1) + 1} = 11 * b, b € N 2^{6k + 6 + 1} + 9^{k + 1 + 1} = 11 * b 4. Dowód: 2^{6k + 1 + 6} + 9^{k + 1 + 1} = = 2^{6k + 1} * 2⁶ + 9^{k + 1} * 9 = { z założenia: 2^{6k + 1} = 11a - 9^{k + 1} } = (11a - 9^{k + 1}) * 64 + 9 * 9^{k + 1} = = 64 * 11a - 64 * 9^{k + 1} + 9 * 9^{k + 1} = = 64 * 11a - 55 * 9^{k + 1} = = 11 * (64a - 5 * 9^{k + 1}), b = 64a - 5 * 9^{k + 1} Co należało wykazać.

Angelinade: Rozwiąż an{2 dla n=0, 9 dla n=1, −4a_n−1 − 3a_n−2 + ³⁵₁₆ • 4ⁿ dla n≥2

Mila:

	35
(* ) an=−4an−1−3an−2+		*4n
	16

a₀=2, a₁=9 2) Równanie charakterystyczne: x²+4x+3=0 x=−3 lub x=−1 a_n⁽¹⁾=A*(−1)ⁿ+B*(−3)ⁿ a_n⁽²⁾=C*4ⁿ 3) Wyznaczamy C

	35
C*4n=−4*C*4n−1−3*C*4n−2+		*4n⇔
	16

C=1 3) a_n=A*(−1)ⁿ+B*(−3)ⁿ+4ⁿ a₀=2=A+B+1 a₁=9=−A−3B+4 A=4, B=−3 a_n=4*(−1)ⁿ−3*(−3)ⁿ+4ⁿ a_n=4*(−1)ⁿ+(−3)ⁿ⁺¹+4ⁿ =====================