wykaż Joanna: Udowodnij, że środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Jak się za to zabrać?

Joanna: Pomocy

PajONk: Ten punkt O jest jednakowo oddalony od wierzchołków A i B trójkąta, jednakowo oddalony od wierzchołków A i C z podobnej przyczyny. Stąd wynika, że punkt O jest jednakowo oddalony od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta, więc i od B i C, a zatem musi leżeć także na osi symetrii boku BC, czyli jest punktem przecięcia się osi wszystkich trzech boków trójkąta. wyznacza on również środek okregu opisanego na tym trójkacie

Joanna: To nie jest udowodnienie ...

Vax: Nadajmy wierzchołkom A,B,C masy jednostkowe, niech O będzie środkiem masy punktów A,B,C, zauważmy, że jest on również środkiem masy punktów A,D gdzie D jest środkiem masy punktów B oraz C, i ma on masę równą 2, skąd wynika, że O leży na odcinku AD stanowiącym środkową trójkąta, analogicznie pokazujemy, że pozostałe środkowe przechodzą przez punkt O. Warto zauważyć, że skoro O jest środkiem masy układu punktów A i D to AO / OD = 2 / 1, skąd dostajemy kolejny wniosek, że środkowe w trójkącie przecinają się w stosunku 2:1. Pozdrawiam.