Całki - od podstaw Grześ: Tak więc rozpoczynamy naukę całek Czy zrozumiałe jest przedstawiona wcześniej teoria I czy jesteś dobrze zaznajomiona z pochodnymi

Kejt: teoria zrozumiała. a z pochodnymi muszę się jeszcze chyba zaprzyjaźnić..

Grześ: Bo pochodne odgrywają dużo rolę w liczeniu całek. Jak już wspomniałem jest to działanie odwrotne, jak dla przykładu dzielenie z mnożenie, czy odejmowanie z dodawaniem

jojo: weźcie sie uczcie tego w czwartek po maturach bo bym sobie też popatrzał

Kejt: mnie w czwartek nie ma.. plener mam..

Grześ: Mnie też w czwartek nie ma.... ....

Kejt: do pochodnych potrzebne są granice?

jojo: Dobra to dam sobie ta strone do ulubionych potem poczytam powodzenia Kejt

Grześ: w klasycznej definicji pochodnej, jest przedstawiona w postaci granicy. Lecz mnie gł. chodzi czy umiesz korzystać z wszelkich wzorów wyprowadzonych, bo z nich będziemy korzystać

Grześ: Halo... chcesz się uczyć czy nie? Bo ja czekam, aż odpowiesz... Ciężko idzie takie tłumaczenie

M4ciek: Grzesiu poczekalibyście z tym do końca matur też chce

Kejt: Jestem, jestem. zaprzyjaźniam się z pochodnymi, ale one mnie chyba nie lubią

jojo: Pochodne nie są takie trudne ja mimio iz mam braki z maty z niektórych działów pochodne w niecałe 20 min opanowałem. Oczywiście podstawy

jojo: Grześ może wejdziecie na wirtualną tablice i tam sobie potłumaczycie a ja popatrze co ?

Grześ: hehe... Na początek przejrzyj same wzory na tutejszej stronie.. na początek wystarczą https://matematykaszkolna.pl/strona/359.html

Nie jestem mądry: No właśnie poczekajcie proszę do końca matur też chce się zapisać na kurs

Kejt: no właśnie z nimi się zaprzyjaźniam.

Kejt: no właśnie z nimi się zaprzyjaźniam.

M4ciek: Grzesiu trochę minie zanim się nauczę tych wszystkich wzorów Rozumiem ,że pochodne to jeden z pierwszych tematów na studiach

Kejt: Swoją drogą.. mamy jakiegoś moderatora na stanie?

Grześ: Właśnie nie wiem... nie widzę na liście... Tak pochodne, to jeden z pierwszych tematów... Taki wstęp do analizy matematycznej Jak ogarniesz pochodne podstawowe, co napisz, ja idę na herbatkę

Epo: Jeśli chodzi o analizę to na początku na studiach są podstawy logiki i teorii mnogości, potem trudniejsze logarytmy itp, takie przypomnienie, potem granice a potem pochodne.

Kejt: ych..logika..nienawidzę tego..

Epo: Z logiki i teorii mnogości na studiach technicznych są jeden, max 2 wykłady. Chyba, że idziesz na matematykę to masz cały przedmiot głównie o tym (wstęp do matematyki). Logika i teoria mnogości na studiach technicznych nie jest taka trudna, chyba że chcesz wiedzieć więcej niż inni. Książki do samej logiki mają nawet ponad 500 stron

Kejt: melduję, że wzory zostały przyswojone.

Grześ: A ja dziękuję za interwencję moderatora Zaraz będę kontynuował

Grześ: Tak więc jak już znasz wzory na pochodne, to przejdźmy do konkretniejszych rzeczy. Najpierw zaczniemy od całki nieoznaczonej, czyli rozwiązaniem jej będzie pewien zbiór funkcji różniących się pewną stałą. Zapis: ∫ f(x) dx = g(x) + C, gdzie C − dowolna liczba Po sprawdzeniu w drugą stronę, czyli zróżniczkowaniu, że C'=0, bo jest to pewna stała

Kejt: póki co daje radę z rozumowaniem..

Grześ: Więc skoro rozumiesz, to policz proste całki nieoznaczone: ∫ 1 dx = ... ∫ 5 dx = ... ∫ x dx = ... ∫ cosx dx =...

Miooin: widze ze akurat uczysz calek ja mam taki maly problem ile wynosi ∫sin³ x dx rozwiazuje równania rozniczkowe i mam zły wynik i to jest jedyna rzecz w ktorej moglam zrobic blad ale go nie widze

Grześ: już zostało rozwiązane przez Godzia w Twoim temacie

Kejt: dwie pierwsze =0?

Grześ: Pomyśl Kejt... jaka funkcja będzie miałą pochodną "1"? lub "5"?

Rivi: Dołączam się i sobie posłucham również. Rozwiązałem, ale sobie z wynikami poczekam, coby nie bruździć Wolny słuchacz, hah

Kejt: to chyba znaczy, że źle

Ireneusz: x i 5x

Kejt: aa..bo to odwrotne jest. dobra kumam

Grześ: Odpowiedz sobie na to pytanie, a w międzyczasie spójrz: g(x)=2x g'(x)=2 Rozumiemy

Godzio: Ja jednak proponowałbym zacząć od pochodnych, bo bez ich znajomości to kiszka

Grześ: Proszę nie dołączać się do dyskusji... zajmujcie sobie swoimi zadankami maturalnymi. Proszę nie stresować Kejt

Grześ: Kejt mówiła, że się już zaznajomiła ze wzorami

Kejt: tak..tylko ma sklerozę i zapomniała, że to są działania odwrotne..

Godzio: To może sprawdzimy znajomość pochodnych (sin(3x))' = (x * lnx)' =

	x4
(		)' = ...
	4

	x4 + 4√x7
(		)' =
	√x3

Grześ: Dobra, to ja Kejt czekam, aż zrobisz pozostałe, wiedząc, że jest to działanie odwrotne

Grześ: Hehe... okeeej Godzio... dajmy Kejt czas

Kejt:

	x2
∫ x dx =		+C?
	2

to ze wzoru:

	xa+1
∫xadx=		+C
	a+1

∫ cosx dx = sinx? bo (sinx)'=cosx

Grześ: tak, właśnie tak

Kejt: łuhu

Grześ: tylko w drugiej zgubiłaś C

Kejt: no dobra.. nie mogłam zrobić wszystkiego idealnie dobrze bo byłoby to podejrzane

Grześ: nie no narazie jest okej.. hmmm... To teraz zaznajomię Cię z metodą całkowania przez części... Są funkcje, które nie da się od razu scałkować, tylko trzeba posłużyć się pewnym sposobem: Definicję możesz sobie znaleźć, lecz ja chcę zaprezentować ten sposób na przykładzie: Mamy taką całkę: ∫ lnx dx Teraz zastosujmy całkowanie przez częsci czyli: Zapisuję wyrażenie lnx = 1*lnx Teraz oznaczam sobie:

	1
u=lnx ⇒ u'=
	x

v'=1 ⇒ v=x Teraz z tego zapisu wykorzystuję: mnożę na krzyż u*v i zapisuję jako pierwsze wyrażenie, a potem mnoże między sobą drugą kolumnę, czyli u'*v i zapisuje w całce ze znakiem minus w zapisie:

	1
∫ 1*lnx dx = xlnx − ∫		*x dx = xlnx − ∫ 1 dx
	x

Teraz całkę ∫ 1 dx łatwo policzyć = x+c, czyli ostatecznie: ∫ lnx dx = xlnx − x + C Mam nadzieję, że zrozumiałe. W całkowaniu przez części czasem trzeba pomyśleć, który z czynników przyjąć za u', a który za v

Kejt: rozumiem do v=x a dalej już nie

Godzio: Spróbuję to trochę wyjaśnić, z całkowania przez części korzysta się najczęściej gdy z trudniejszej całki przejdziemy na łatwiejszą, warto zapamiętać taki algorytm: ∫f'(x) * g(x)dx = f(x) * g(x) − ∫f(x)g'(x)dx Osobiście nigdy nie korzystałem z takiego zapisu jak przedstawić Grześ, więc spróbuję to inaczej pokazać: Weźmy tą samą funkcję: lnx

	1
∫lnxdx wiemy że (lnx)' =		, więc przeszliśmy na łatwiejszą funkcję. We wzorze mamy:
	x

∫f'(x) * g(x)dx więc brakuje nam pochodnej jakieś funkcji, zauważamy że lnx = 1 * lnx, a 1 to pochodna x ( (x)' = 1) więc zapisujemy:

	1
∫(x)'lnxdx = x * lnx − ∫x * (lnx)'dx = x * lnx − ∫x *		dx = ... Dalej wiadomo
	x

Grześ: kurcze... bo tam musisz spojrzeć na definicję całkowania przez części, co za co przyjmujemy... Wiem, dziwne tłumaczenie zapisałem

Kejt: już ok. znalazłam tutaj na stronce identyczny przykład

Grześ: Jak tam idzie Kejt

Kejt: przykład został zrozumiany i przyswojony

Grześ: więc teraz rozwiąż tu całkę: ∫ xcosx dx, z tymi wiadomościami

Kejt: ∫ xcosx dx= ∫ x(sinx)' dx= xsinx − ∫ (x)'sinx dx= xsinx − ∫ sinx dx= x sinx +cosx ∫ xcosx dx=x sinx + cosx + C tak?

Godzio: Tak

Kejt: ha

Godzio: To może spróbuj takie coś: ∫e^xsinxdx −− to jest nietypowa całka którą liczy się przez części wskazówka: (1) = (2) + (3) − (1)

	(2) + (3)
(1) =		+ C
	2

Jak dojdziesz do pewnego momentu to chyba ją zrozumiesz

Kejt: to dlatego, że mi za dobrze szło, tak?

Godzio: Nie, nie Skoro takie Ci idą dobrze to trzeba wejść na poziom wyżej

Godzio: Albo może najpierw zrób taką: ∫x²e^xdx i ∫ln²xdx Na jednym całkowaniu przez części czasem się nie kończy, te całki trzeba będzie 2 razy przez części

Kejt: ∫ e^x sin x dx = −e^x cos x + ∫ (e^x)' cos x dx zanim dalej będę robić.. to tak ma być? zwłaszcza pytanie odnośnie tego podkreślonego..

Grześ: dobrze, mnie na chwilkę prąd wyłączyli i mnie nie było

Kejt: czyli to jest dobrze, tak? bo nie jestem pewna odnośnie którego przykładu pisałeś..

Grześ: Masz dobrze tą częśc całki, w ogóle wszystko dobrze zrobiłaś Kontynuuj z tą ostatnią całką

Kejt: już zaczęłam tą pierwszą od Godzia.. do tego miejsca: ∫ x² e^x dx = x² e^x − ∫ (x²)' e^x dx = x² e^x − ∫ 2x e^x dx =... co dalej?

Grześ: drugi raz przez części

Kejt: = x² ex − (2x e^x − ∫ (2x)' e^x dx) tak?

Kejt: oczywiście x² e^x nie x² ex..

Grześ: tak, dokładnie tak pilnuj tego minusa

Suiseiseki: poczekajcie chociarz do piątku..

Kejt: = x² e^x − (2x e^x − ∫ 2e^x dx) = x² e^x − 2x e^x + 2e^x ?

tom215: własnie chętnie bym sie tego nauczył, chyba ze zapisze sobie to i potem sam przeanalizuje, ale po maturach

Grześ: Tak, właśnie tak Dobrze Kejt zrobiłaś przykład Teraz dokończ przykład Godzia z ∫ e^xsinx dx Połowę jej zrobiłaś

SzymeQ: dajcie Im spokój, niech sobie robią Jak będziesz zainteresowany, to po maturach na tej stronce dużo osób ci to przyswoi, jeżeli tylko będziesz chciał.

Kejt: −e^x cos x + ∫ (e^x)' cos x dx = −e^x cos x + ∫ e^x cos x dx =.. rozłożyć tą drugą z drugiego wzoru czy cały czas pierwszego? bo jakieś głupoty mi wychodzą.. mówię o tych wzorach: https://matematykaszkolna.pl/strona/2138.html

Godzio: Nie dziw się, że Ci wychodzą Zobacz na moją wskazówkę

Grześ: jeszcze raz przez części, tylko tam zamiast + jest znak "−" przed całką A wzór obojętny, bo to samo wyjdzie, obojętnie co weźmiesz za f(x) i g'(x)

Kejt: no to się pytałam.. bo tam wychodzi −cos x.. zgubiłam się..

Grześ: dobrze dobrze, zostaw ten iloczyn −e^xcosx a zajmij się teraz ponownym całkowaniem przez części Rozumiem o co sie rozchodzi, tak tak, tak robią się dwa minusy Moja nieuwaga

Kejt: więc tam będzie plus?

Grześ: tak będzie plus.. mała nieuwaga, bo powstaje: − ∫ −e^xcosx dx = ∫ e^xcosx dx

Kejt: no i wychodzi mi: −e^x cosx + e^x cosx − ∫ (e^x)' cosx dx głupoty wychodzą..

Grześ: oj, Kejt coś pokręciłaś jak całkujesz ∫ e^xcosx dx = −e^xsinx+∫e^xsinx dx

Grześ: kurde, na odwrót znaki ∫ e^xcosx dx = e^xsinx−∫e^xsinx dx

Godzio: ∫e^xsinxdx = e^xsinx − ∫e^xcosxdx = e^xsinx − e^xcosx − ∫e^xsinxdx ∫e^xsinxdx = e^xsinx − e^xcosx − ∫e^xsinxdx 2∫e^xsinxdx = e^xsinx − e^xcosx

	ex
∫exsinxdx =		(sinx − cosx) + C i kóniec
	2

Grześ: Godzio, chyba puściły Ci nerwy Hihi, ja jeszcze jestem cierpliwy

Kejt: i co dalej?

Godzio: Ja bym pozabijał na korkach jakby mi ktoś takie błędy robił

Kejt: ups.. chyba jestem niezbyt pojętnym uczniem..

Kejt: dobrze, że mieszkam daleko od Ciebie

Grześ: Ja nadal jeszcze jestem cierpliwy, choć też chwilami było zwątpienie Nie przejmuj sie Kejt. Może na dziś wystarczy Czy będziemy mordować przez podstawiania

Kejt: jeśli masz jeszcze chęci. Bo ja muszę myśli od pewnych rzeczy oderwać..więc z chęcią.

Grześ: To zajmij się teorią, poczytaj, a zaraz weźmiemy się za konkretne przykłady. Tutaj na stronce przejrzyj na czym ona polega

Godzio: Kejt już niedługo

Jabłko: Czemu Godzio jest taki dobry z maty z tym trzeba się urodzić czy po prostu rozwiązywać mase zadań

Kejt: jeszcze 2 lata... grozisz mi?

bump: xD

Godzio: Jabłko w moim wypadku "masę zadań" Kejt żartuje

Jabłko: A nie raz miałeś tak że siedziałeś po kilka godzin nad zadaniem i się denerwowałeś Nieprzespane noce itp

Kejt: no.. to masz szczęście..tak swoją drogą.. to zdecydowanie wolę być po stronie uczącego nie uczonego..

Godzio: Może nie aż tak, że nie przespane noce, ale kilka godzin owszem

Kejt: dobra.. tego nie jestem w stanie przetrawić..

Grześ: przez podstawienie nie idzie Prosta całka przez podstawienie: ∫ x*cos(x²) dx podstawiamy: t=x² / różniczkujemy dt=2x dx

dt
	= x dx
2

Podstawiamy:

1		1
	∫ cost dt=		sint + C, wracamy z podstawieniem:
2		2

	1
∫ x*cos(x2) dx =		sin(x2) + C
	2

Rozumiemy to

Kejt: nie

Grześ: to czego nie rozumiemy

Kejt: nie rozumiem skąd się bierze 6 linijka..to z dt=...

b.: mamy t = x² pochodna z t (po t) = 1 pochodna z x² (po x) = 2x i zapisujemy to tak: 1 dt = 2x dx albo po prostu: dt = 2x dx (można myśleć, że to jest tylko zapis ułatwiający zamianę zmiennych w całce)

Kejt: ach. okej. dzięki b. Grześ z Godziem chyba nie wytrzymali..

Grześ: Ja wytrzymałem, tylko po prostu myślałem w jakich prostych słowach to ująć. Na razie uczenie idzie bardzo dobrze. Ja jak się uczyłem przez podstawianie, to też dziwiłem się czemu jest to dt, dx. Ale po rozważaniu przyjąłem je jako po prostu zamienne wyrażenia i tyle

Godzio: Kejt ja jeszcze wytrzymuje, tylko że tak się boje tego polskiego, że szok

Kejt: dobrze, dobrze. Może coś na uspokojenie weź? herbatkę ziołową sobie zaparz?

Godzio: Nic mi nie pomaga, przed chwilą stwierdziłem, że jestem debilem skoro nie przeczytałem żadnej lektury prócz Kamizelki która ma 20 stron, jak nie dostane wierszy do porównania to leżę i kwiczę

Kosmos: Godzio jak ty siebie nazwałeś debilem to na mnie nie ma określenia. Swoją drogą jedyną lekturę którą ja przeczytałem był pies który jeździł koleją czy jakoś tak, reszta to z lekcji

Godzio: Szkoda, że na lekcji też za bardzo nie słuchałem ...

Kejt: Ojj.. dasz radę. Chyba, że planujesz mieć wysoki wynik.. Próbowałeś posłuchać "brutalnej" muzyki? mi to pomaga..

Kejt: Swoją drogą mogłeś mi dać wcześniej znać.. bo robiłam sobie opracowania do lektur..

Kosmos: No całki się same nie rozwiążą Ale naprawde podziwiam ścisłowców, natomiast gardzę humanistami jeden mądrzejszy od drugiego

Grześ: No właśnie. Gadu, gadu, a całki same się nie rozwiążą. Jak coś Kejt, to będę jutro. Nie wiem czy masz jeszcze ochotę

Godzio: Cały czas słucham muzyki, ale może nie brutalnej co takiej co mnie podniesie na duchu trochę A opracowania raczej by nic nie dały, bo jestem za leniwy żeby to czytać.

Kejt: Ja jestem uparta i tak łatwo tym całkom nie odpuszczę! tylko zniknę wcześniej, bo na gitarę jadę..

Kejt: jedna lektura − dwie strony.. nie chcesz to nie

Grześ: Na koniec rzucę żartem, którego kolega w szkole nie zrozumiał. Ogólna zasada jest taka, że nie mówi się, że coś jest całkiem całkiem, tylko całką całką. Zła odmiana. Dobranoc Wam wszystkim

Kosmos: moc ja nie moge się doczekać kiedy zacznę studiować całki

Godzio: Weźcie tak koło 10 zacznijcie za mnie trzymać kciuki, jakoś wtedy zacznę pisać wypracowanie od którego zależy dużo Dobranoc

Kosmos: No wyśpij się po maturze pewnie będziesz się z tego śmiał

Kejt: Ktoś zostaje ze mną pocałkować?

Kosmos: ja mogę się w podchody pobawić co najwyżej

Kejt: podchody..hm.. będziesz zostawiał znaki w różnych tematach i mam Cię znaleźć?

Kosmos: heheeheh o pochodne mi chodziło

Magda: ja mam taką całkę ∫log_ax dx noi robię przez części: v=log_ax u'=1

	1
v'=
	xloga

u=x podstawiam do wzoru

	x
∫logax dx= logax *x − ∫		dx i wiecie co dalej z tą całka po znaku minus : D
	xlna

Magda: a pomyłka w mianowniku w v' powinno być xln_a a nie xlog_a

Kejt:

	1
∫ logax dx = ∫ (x)' loga dx = x loga x − ∫ x(logax)' dx = xlogax − ∫ x *		dx=
	x ln a

	1		x
x loga x − ∫		dx = x loga x −
	ln a		lna

	x
∫ logax dx= x loga x −		+ C
	ln a

chyba tak..? ale wiesz.. ja to dzisiaj dopiero zaczęłam..

Magda:

	1		x
całka z tego ∫		dx =		? to z jakiegoś wzrou bo już te wzory na pochodne i całki
	lna		lna

mi się mylą

Kejt:

	1		x
no to jest x*		=
	ln a		ln a

Magda: kumam, po prstu wszystko mi się już miesza wzory na pochodne z całkami itd, troche dużo tego, a to nie wszystko : P

Kejt: spoko..ja też już oczopląsu dostaję od tego

Magda: ta akurat jest nieoznaczona,zobaczysz całki oznaczone i niewłaściwe, to jest dopiero jazda haha

Kejt: ejej.. nie rozpędzaj się tak ja dopiero w 2 liceum jestem nawet nie na rozszerzonej matmie..

Grześ: Podbijam temat, jakbyś Kejt chciała kontynuuować, lub miała jakies pytania

Kejt: oczywiście, że chcę

Grześ: No to, czy zrozumiałaś metodę podstawiania I czy utrwaliłas metodę przez części

Kejt: utrwaliłam. A z tym podstawianiem to mi średnio wychodzi..

Grześ: No to ćwiczymy dalej podstawianie

Kejt: chyba nie mam wyboru

Grześ: To prosta całka na myślenie: ∫ ctgx dx, oczywiście jest to całka przez podstawienie

Grześ: Wiesz jak to zrobić

Kejt: tak. właśnie robię.. tylko w zeszycie, więc to chwilkę dłuższą potrwa..

Kejt:

	cos x		(cos x) dx
∫ ctg x dx = ∫		dx = ∫
	sin x		sin x

	d
t=sinx / *
	dx

dt		d
	=		sin x
dx		dx

dt
	= − cos x / * dx
dx

dt = (−cos x) dx / * (−1) −dt = (cos x) dx

	(cos x) dx		dt		dt
∫		= ∫ −		= − ∫		= − ln | t | = − ln |sin x|
	sin x		t		t

∫ ctg x dx = − ln |sin x| + C tak?

Grześ: yyyy.... źle zróżniczkowane zobacz:

	d
t=sinx /
	dx

Teraz liczysz pochodna z sinx:

dt
	=cosx
dx

dt=cosx dx Rozumiesz

Grześ: źle policzona pochodna.. jedyny błąd

Kejt: a byłam pewna, że pochodna z sin x to − cos x... dobra, nieważne.

Grześ: Poza tym wszystko jest dobrze, tylko proponuje sobie wyrobić taką metodę: t=sinx i teraz po zróżniczkowaniu od razu piszesz: dt=cos dx, niepotrzebne te przekształcenia. Rozumiesz o co chodzi

Kejt: okej. po prostu jak przeglądałam przykłady tutaj na stronie to tak było. Skoro to niepotrzebne to nawet lepiej.

Grześ: Te przekształcenia są niepotrzebne, jedynie naucz się, że nie zawsze podstawiamy t, dla przykładu zobacz: Mam jakąs tam całkę i stosuje podstawienie ( takie przykładowe): t²=x⁴ / różniczkuję 2t dt= 4 x³ dx Rozumiesz o co chodzi Obliczasz pochodne po dwóch stronach i dopisujesz dt oraz dx

Godzio: Możesz też zapamiętać taką własność:

	f'(x)
∫		dx = ln|f(x)| + C
	f(x)

dowód ?

	f'(x)
∫		dx
	f(x)

f(x) = t f'(x)dx = dt

	f'(x)		dt
∫		dx = ∫		= ln|t| + C = ln|f(x)| + C
	f(x)		t

Kejt: tak, wiem o co chodzi

Grześ: Tak więc jak masz już opanowane podstawianie w miarę, będziemy je w miedzyczasie ćwiczyć, bo nie zawsze podstawia się samo t, czy inny symbol Teraz chciałem spytać, czy umiesz rozkładać na ułamki proste Jak masz np. taką całkę:

	1
∫		dx , niekorzystając z gotowych wzorów umiesz zamienić ten ułamek
	x2−1

Kejt: nie rozumiem co masz na myśli..

Godzio:

1		1		1		1
	=		=		+
x2 − 1		(x − 1)(x + 1)		2(x − 1)		2(x + 1)

O to

Grześ: Chodzi mi o sam rozkład ułamka, oczywiście Godzio zna już taki rozkład na pamięć, ale mnie chodzi o schemat rozbijania takich ułamków. Jak chcesz Godzio, to zaprezentuj, jak takiś chętny

Kejt: hmm.. nie robiłam tego nigdy..albo o tym nie wiedziałam..

Godzio: https://matematykaszkolna.pl/forum/94344.html zerknij tu, dzisiaj "rano" to tłumaczyłem, jak nie zakumasz to pogłębię moje tłumaczenie

Kejt: nie kumam

Godzio:

	1
Masz ułamek		i masz go rozpisać na ułamki proste:
	x2 − 1

1		1		A		B
	=		=		+		−− Teraz sprawdzasz to
x2 − 1		(x − 1)(x + 1)		x − 1		x + 1

wyrażenie do wspólnego mianownika

	A(x + 1) + B(x − 1)		Ax + A + Bx − B
... =		=		=
	(x − 1)(x + 1)		(x − 1)(x + 1)

	x(A + B) + A − B
=
	(x − 1)(x + 1)

Otrzymujemy:

1		x(A + B) + A − B
	=
(x − 1)(x + 1)		(x − 1)(x + 1)

Oba wyrażenia są sobie równe gdy liczniki i mianowniki są sobie równe, 1 = x(A + B) + A − B x * 0 + 1 = x(A + B) + A − B 0 = A + B 1 = A − B + −−−−−−−−− 1 = 2A

	1
A =		, B = U{1}[2}
	2

Skoro wyliczyliśmy współczynniki to teraz wracamy do naszej postaci gdzie mieliśmy rozbite na ułamki proste, wstawiamy tam wyniki z A i B i mamy proste całki do wyliczenia:

A		B		1		1
	+		=		+
x − 1		x + 1		2(x − 1)		2(x + 1)

Nie wiem jak to inaczej wytłumaczyć

Kejt: mi generalnie chodziło o te liczniki.. bo w jednym np. było "Ax + B" i zastanawiałam się dlaczego..

Grześ: Bo licznik w ułamku prostym jest o jeden stopień niższy od mianownika. Lecz też nie zawsze, o czym niedawno się dowiedziałem. Dla przykładu taki ułamek:

x2−x		A		B		C
	rozkłada się na takie ułamki:		+		+
(x−1)3		x−1		(x−1)2		(x−1)3

Czego jeszcze do końca nie zgłębiłem

Grześ: To się nazywa ułamek I rzędu czy jakoś

Grześ: ....

Kejt: mam się bać?

Grześ: hihi, ale czemu

Kejt: tak groźnie na mnie patrzysz

Grześ: hihi.. a tam, wcale nie Posiadasz komunikator gg Jakbyś chciała.. hihi

Grześ: Proszę od razu jakiegokolwiek moderatora o usunięcie tych dwóch postów z danymi kontaktowymi. Dziękuję

Kejti: g(x) = e^{cos2 3√x2}

Grześ: Nooo... wracamy po "krótkiej" przerwie. Tak więc z tym przykładem robisz wg takowego schematu: g(x)=e^f(x), gdzie: f(x)=(cos ³√x²)² g(x)'=e^f(x)*f(x)' Rozumiemy?

Kejti:

	2
ecos2 3√x2 * (−sin2 3√x2) *		x−13?
	3

Grześ: Taaaak !

Kejti: yeah

Grześ: f(x)=arctg (√sinx)

Grześ: Nowe przykłady:

	x2−1
1. f(x)=
	x

2. f(x)= sinx * lnx

Kejti:

	1		1
f'(x) =		*		* cos x?
	1+√sin x		2 √sin x

Kejti:

	1
poprawka:
	1 + sin x

Trivial: A cóż to za temat tasiemiec.

Godzio: arctg(√sinx) jest ok, mogłaś od razu resztę pociągnąć

Łukasz: jest ktos obecnie

pinka: ∫3/4x−5 dx