monotonicznosc mlody: określ monotoniczność funkcji lnx+1/lnx

Basia: czy to ma być: 1 lnx + --------- lnx czy lnx + 1 ----------------- lnx ?

mlody: to ma byc 1 lnx + ---------- lnx

Basia: wybacz, ale coś mi wczoraj nagle wypadło i już nie mogłam tu wrócić 1 f(x) = lnx + ------------- lnx x>0 (bo logarytmujemy tylko liczby dodatnie) lnx≠0 (bo jest w mianowniku) lnx = ln1 x≠1 D = (0;1)u(1;+∞) 1 1 f'(x) = ------ - ----------- * (lnx)' x (lnx)² 1 1 1 f'(x) = ----- - ---------- * ----- x (lnx)² x (lnx)² -1 f'(x) = (1/x)*[ 1 - 1/(lnx)² ] = (1/x)* --------------- (lnx)² f'(x) = 0 ⇔ (lnx)² -1 = 0 ⇔ (lnx - 1)(lnx+1) =0 ⇔ lnx=1 lub lnx= -1 ⇔ x = e¹ = e lub x=e^-1 = 1/e badamy znak pochodnej (lnx)² > 0 1/x > 0 (bo x>0) czyli znak pochodnej zależy tylko od znaku wyrażenia: (lnx)² -1 (lnx)² -1 >0 ⇔ (lnx -1)(lnx + 1) >0 ⇔ [ lnx -1 > 0 i lnx+1>0 ] lub [ lnx-1<0 i lnx+1<0 ] ⇔ [ lnx>1 i lnx>-1 ] lub [ lnx < 1 i lnx < -1 ] ⇔ lnx > 1 lub lnx < -1 ⇔ lnx > ln(e) lub lnx < ln(e^-1) ⇔ (bo logarytm naturalny jest funkcją rosnącą) x > e lub x < e^-1 = 1/e stąd: x∈(0 ; 1/e) ⇒ f'(x) > 0 ⇒ f(x) rośnie x∈(1/e ; 1)u(1 ; e) ⇒ f'(x) < 0 ⇒ f(x) maleje x∈(e ; +∞) ⇒ f'(x) > 0 ⇒ f(x) rośnie